Hoe werkt het beschrijven en verkennen van data? - Chapter 2

Hoe kun je data plotten?

In dit hoofdstuk wordt getoond hoe data gestructureerd kan worden zodat het beter te interpreteren is. Ruwe data is namelijk slechts een verzameling getallen. Structuur kan worden aangebracht door de data in een grafiek weer te geven. Een voorbeeld: om te kijken hoe mensen gegevens uit hun geheugen terughalen, wordt een experiment gedaan waarbij één, drie of vijf getallen worden getoond op een scherm. Daarna wordt één getal getoond, waarna op de positieve knop gedrukt wordt als het getal in de eerdere reeks voorkwam, of op de negatieve als die er niet in voorkwam. Reactietijden worden hierbij gemeten. Dit resulteert in een reeks reactietijden die we in een tabel kunnen zetten. Een frequentie distributie kan de data ordenen, door aan te geven hoe vaak een bepaalde reactietijd voorkwam. De proefpersoon reageert bijvoorbeeld 5 keer binnen 50/100 van een seconde. Zo wordt zichtbaar welke reactietijd het meest voorkomt.

Welke kenmerken heeft een histogram?

De frequentie distributie is goed uit te beelden in een figuur, bijvoorbeeld een histogram. De verticale as geeft de frequentie weer, en de horizontale as de reactietijden. Om willekeurige ‘noise’ te verwijderen, omdat dit waarschijnlijk geen betekenis heeft, kunnen frequenties samengevoegd worden in blokken van 5/100 van een seconde. De belangrijkste trends in de data blijven zo zichtbaar. Wanneer gebruikgemaakt wordt van samengevoegde frequenties, ofwel intervallen, dan zijn de ware grenzen van die intervallen de decimale waarden die halverwege vallen tussen de top van één interval en de onderkant van de volgende. Bijvoorbeeld: Het interval 35-39 omvat alle waarden tussen de 34.5 (ondergrens) en 39.5 (bovengrens).

Voor nog meer overzichtelijkheid zou je in een grafiek of tabel ook alleen de middenpunten kunnen weergeven: het gemiddelde van de boven- en ondergrens van een interval. Bij het gebruik van intervallen is het verstandig om tussen de 10 tot 12 intervallen te hebben. Gebruik daarbij zoveel mogelijk natuurlijke breekpunten, dus bijvoorbeeld 0-9, 10-19 etc. In het voorbeeld heeft de participant één keer een waarde behaald van 125/100 van een seconde, een zeer langzame reactietijd in vergelijking met de andere scores. Deze waarde wordt een uitschieter genoemd (‘outlier’), omdat hij sterk afwijkt van de rest van de data. Vaak zijn uitschieters fouten in het opnemen van de data.

Wanneer worden vloeiende lijnen op data toegepast?

Histogrammen worden gebruikt om data op een handige manier uit te beelden, maar ze hebben hun tekortkomingen. Zo wordt data niet helder uitgebeeld bij kleine steekproeven, omdat kleine veranderingen in intervalgrootte al grote veranderingen teweeg brengen in de distributievorm. Om een betere weergave te krijgen, moet een vloeiende curve op de data worden toegepast.

Een normale curve

De normale curve wordt ook wel de bell-curve genoemd vanwege de vorm: hij is het hoogst in het midden van de distributie en loopt symmetrisch af naar beneden aan beide kanten van dit midden. Deze vorm in de curve hoort bij een normaalverdeling. Hier wordt later verder op ingegaan.

Kernel dichtheidsplot

Bij een normale curve worden maar een paar gegevens gebruikt, namelijk het gemiddelde en de standaarddeviatie van de data. Er wordt geen rekening gehouden met de eigenlijke distributievorm. Individuele scores spelen dus geen rol in de plot. De Kernel dichtheidsplot is het tegenovergestelde: het gebruikt juist individuele data en doet niets met het gemiddelde of de standaarddeviatie. De Kernel plot houdt rekening met het feit dat elke observatie of score een bepaalde mate van toeval bevat. Een score van 80/100 had net zo goed 79/100 of 85/100 kunnen zijn. Elke score heeft zo een eigen distributie van mogelijke scores. De Kernel plot telt in feite al deze losse normaalverdelingen op en maakt daar een totale verdeling van die beter in de buurt komt van de werkelijke verdeling.

Welke voordelen heeft een steel-en-blad weergave?

Het nadeel van histogrammen is dat ze gebruikmaken van intervallen, waardoor de individuele scores verloren gaan. Het nadeel van frequentieverdelingen is dat ze juist individuele scores gebruiken, maar de data niet voldoende samenvatten. De ‘stem-and-leaf’ weergave vermijdt beide kritiekpunten.

Om deze methode uit te leggen, wordt de volgende dataset gebruikt: een dataset van het aantal minuten per week dat 100 studenten elektronische spellen spelen. In tabel 1 staat een deel van de scores, namelijk die tussen de 40 en 80 minuten per week.

De cijfers die de tientallen maken (de 4, 5, 6 en 7 hier) heten de leidende getallen of de meest significante getallen. Deze leidende getallen vormen de steel, of verticale as, van de weergave. Van de 14 scores in de 40 was er één 40, twee 41s, één 42, etc. De eenheden in deze getallen (de 0, 1, 2 etc.) heten de volgende (of minder significante) getallen. Zij vormen de bladeren. Naast het getal 4 onder de steel zie je deze eenheid getallen terugkomen. Eén nul, twee enen, etc. In de tabel kun je teruglezen hoeveel studenten een bepaalde tijd spelletjes spelen. 11 studenten spelen 0 minuten per week spelletjes, 1 student speelt 2 minuten, etc. De getallen onder de kolom ‘blad’ geven een liggend histogram weer.

Soms is de groepering te grof voor de doeleinden. Een oplossing zou kunnen zijn om de intervallen in de ‘blad’ kolom kleiner te maken. In plaats van het samenvoegen van 40 tot 49, kun je er ook voor kiezen om intervallen te maken van 40-41, 42-43, 44-45 etc. (zie tabel 2). In dat geval krijgt de ‘blad’ kolom bijvoorbeeld de variabelen 4, 4t en 4f respectievelijk (de ‘t’ staat voor ‘two’ en ‘three’, de ‘f’ voor ‘four’ en ‘five’). De enige voorwaarde hierbij is, dat elk interval even groot moet zijn.

Steel-en-blad weergaven zijn voornamelijk praktisch wanneer twee verschillende distributies vergeleken worden. Daarbij worden de twee distributies aan weerszijden van de steel getoond.

Met welke termen kan data beschreven worden?

De normaalverdeling is symmetrisch: hoog in het midden en naar beide kanten even snel dalend. Niet elke distributie zal er zo uitzien. Een bimodale distributie heeft bijvoorbeeld twee pieken. Als een distributie maar één piek heeft, heet het een unimodale distributie. Modaliteit verwijst naar het aantal grote pieken in een distributie. Een distributie kan ook asymmetrisch zijn, in dat de verdeling aan één van beide zijden van de piek langer uitloopt. Een distributie met een ‘staart’ naar de linkerkant heeft een negatieve scheefheid (‘skew’), een distributie met een staart naar rechts heeft een positieve scheefheid.

Ten slotte is er kurtosis of piekvormigheid. Dit is een maat voor de concentratie van scores in het midden of in de staarten van de distributie.

1. Mesokurtisch: een normaalverdeling (de piek zit in het midden).
2. Platykurtisch: een verdeling met een plattere curve (meer scores tussen de staarten en het centrum in).
3. Leptokurtisch: een verdeling met een steilere piek, maar ook dikkere staarten (meer scores in het centrum en in de staarten).

Hoe de verdeling van scores is, wordt pas zichtbaar als de steekproef groot genoeg is.

Welke notatiesysteem wordt gebruikt in de statistiek?

In de statistiek is er (nog) geen standaard notatiesysteem dat wordt gehanteerd. Een simpel notatiesysteem zou kunnen worden gebruikt. Ook al is er dan sprake van iets minder precisie, het begrip hierdoor wel enorm verhoogd wordt.

Variabelen

Over het algemeen geeft een hoofdletter, vaak X of Y, een variabele als geheel weer. Een subscript bij die letter is een individuele waarde van die variabele. Om naar een enkele score te refereren zonder een specifieke score te selecteren, schrijf je X_i.

Opsomming

Een van de meest gebruikte symbolen is de hoofdletter sigma (Σ), de standaardnotatie voor opsomming. Letterlijk betekent het: ‘tel alles wat volgt bij elkaar op’. Zo moet je bij ΣX_i alle X_i’en optellen (voor het gemak wordt de ‘i’ hier vaak bij weggelaten). Let ook op bij ΣX², wat betekent ‘tel alle X²’en op’. (ΣX)² daarentegen geeft aan dat eerst de X’en opgeteld moeten worden, en dit daarna in het kwadraat gedaan moet worden. Bij ∑XY worden de producten van de waarden van X en Y bij elkaar opgeteld.

Dubbel subscript

Een dubbel subscript kan gebruikt worden om te specificeren welke waarde van X bedoeld wordt. Bij een tabel kun je bijvoorbeeld aangeven welke rij en kolom je bedoelt (de i^de rij en de j^de kolom): X_2,3 betekent dan de waarde in rij 2, kolom 3. Aanduiding 1 betekent dat alle X_ij’en opgeteld moeten worden voor de i waarden 1 en 2 en de j waarden 1 tot en met 5.

Aanduiding 1

\[\sum {^{2}_{i}} = 1 \sum {^{5}_{j}} = 1X_{ij}  \]

Wat is de centrale tendens?

Metingen van de centrale tendens, of ook wel ‘metingen van locatie’, zijn die metingen die aantonen waar op de schaal de distributie zich centreert. Er zijn drie manieren om dit te doen: de modus, de mediaan, en het gemiddelde. De manieren verschillen in de hoeveelheid data die ze gebruiken: de modus is gebaseerd op slechts enkele data punten, de mediaan negeert de meeste data en het gemiddelde wordt berekend met gebruik van alle data.

1. Modus (Mo): wordt het minst gebruikt en is vaak het minst bruikbaar. Dit is simpelweg de meest voorkomende score, ofwel, de score die de meeste participanten hadden (het hoogste punt in de distributie). In het geval dat twee aangrenzende scores even vaak voorkomen, wordt hieruit het gemiddelde genomen. Wanneer deze twee scores ver uit elkaar liggen, is de verdeling bimodaal en is het handiger om twee modi te noemen.
2. Mediaan (Mdn): de score die correspondeert met het punt waarop of onder 50% van de scores vallen als de data geordend is op numerieke volgorde. Daarom wordt het ook wel het 50^e percentiel genoemd. Stel dat we de scores 4, 6, 8, 9 en 16 hebben, dan is 8 de mediaan. Bij een even aantal scores, dus 4, 6, 8, 12, 15 en 16, valt de mediaan tussen de 8 en de 12. In dat geval wordt het gemiddelde van de twee middelste scores als mediaan genomen (10). Een handige formule om het scorenummer te vinden waar de mediaan valt, is die van de mediaan locatie: (N+1)/2. Dus, bij vijf scores ligt de mediaan bij ((5+1)/2 =3) het derde nummer in de geordende reeks. Bij een uitkomst van 6,5, is de mediaan het gemiddelde van het zesde en zevende nummer.
3. Gemiddelde: deze meting van de centrale tendens wordt het meest gebruikt: \[\bar{X}\] Het gemiddelde is de som van de scores, gedeeld door het aantal scores, oftewel: 

\[\frac{\sum{\bar{X}}}{N}\]

Welke voor- en nadelen hebben de mediaan, modus en gemiddelde?

Wanneer de distributie vrijwel symmetrisch is, liggen de mediaan en het gemiddelde dicht bij elkaar. Als de verdeling ook unimodaal is, ligt ook de modus dichtbij de mediaan en het gemiddelde. In alle andere gevallen moet goed nagedacht worden welke meting wordt gebruikt.

Modus: De modus is per definitie een score die werkelijk voorkomt. Dit is bij het gemiddelde en de mediaan niet (altijd) zo. De modus representeert daarnaast ook de grootste groep mensen.

Mediaan: Het grote voordeel van de mediaan is, net als bij de modus, dat het niet beïnvloed wordt door extreme waarden. Dit is dus een goede optie in onderzoeken waarbij extreme waarden voorkomen, wanneer deze extreme waarden niet van belang zijn.

Gemiddelde: Het gemiddelde wordt het meest gebruikt. Een groot nadeel van het gemiddelde is echter dat het beïnvloed wordt door extreme scores en dat de waarde van het gemiddelde soms geen bestaande score is. De interpretatie van de gemeten variabele vereist ook geloof in de intervaleigenschappen van de data. Toch is het gemiddelde een sterke meting, door bepaalde voordelen. De belangrijkste is dat het gemiddelde gemanipuleerd kan worden in berekeningen. Daarnaast kan het gebruikt worden om een populatiegemiddelde te schatten: een steekproefgemiddelde is vaak een betere schatting van een populatiegemiddelde dan een modus of mediaan.

‘Bijgeknipt’ gemiddelde

Dit zijn gemiddelden, berekent over data waarbij een deel van de scores is weggelaten (aan het uiteinden van de staarten). Bij een 10% bijgeknipt gemiddelde over 100 scores, worden aan elk uiteinde de laatste tien scores weggelaten en wordt het gemiddelde van de overige scores berekend. Door het bijknippen vallen extreme waarden weg, waardoor de schatting van het populatiegemiddelde stabieler is. De extreme scores in een scheve verdeling trekken het gemiddelde naar zich toe en door deze scores te verwijderen wordt de verdeling normaler.

Op welke manier kan variabiliteit gemeten worden?

Het is handig om te weten waar de data zich centreert. Daarnaast is het ook belangrijk om te meten in hoeverre de afzonderlijke scores afwijken van een gemiddelde, mediaan of modus. Dit heet de dispersie, of veranderlijkheid, rond een punt. Over het algemeen wordt er gekeken naar de dispersie rondom het gemiddelde.

Om dispersie uit te leggen, wordt het volgende voorbeeld gebruikt: twee onderzoekers willen onderzoeken wat een gezicht aantrekkelijk maakt: bijzondere kenmerken of juist een ‘algemene’ look. Om dit te onderzoeken, maken ze foto’s op de computer: gezichten samengesteld uit vier verschillende gezichten (Set 4), waar dus nog wat bijzonderheid in te zien is, en gezichten samengesteld uit 32 gezichten (Set 32). Studenten beoordelen beide foto’s op een schaal van 1 tot 5. Uit het onderzoek blijkt, dat Set 32 gezichten als aantrekkelijker worden beoordeeld. Daarnaast blijkt, dat de scores van Set 32 gezichten veel dichter bij elkaar liggen dan bij Set 4 gezichten (de scores zijn homogener). Dit verschil in veranderlijkheid willen we met een meting weergeven.

Range

De range is een meting van afstand van de laagste tot de hoogste score. De laagste score bij Set 4 was 1.20, de hoogste score 4.02, dus de range is 4.02 - 1.20 = 2.82 eenheden. De range is echter compleet afhankelijk van extreme waarden, of zelfs uitbijters, en kan hierdoor een verkeerd beeld schetsen.

Interkwartiel range en andere statistieken

De interkwartiel range probeert de afhankelijkheid van extreme waarden te verminderen. Deze wordt namelijk uitgerekend door eerst de bovenste en onderste 25% van de distributie weg te laten. Het punt dat de onderste 25% van de verdeling afsnijdt, heet het eerste kwartiel of Q1. Het punt voor de bovenste 25% heet het derde kwartiel of Q3. De mediaan is daarbij het tweede kwartiel. De interkwartiel range is het verschil tussen het eerste en het derde kwartiel (Q3 – Q1). Interkwartielen zijn belangrijk in boxplots, daarover later meer.

Er wordt echter vaak teveel data weggelaten. Het weghalen van data moet gerechtvaardigd zijn en kan dan elk percentage bevatten dat men wilt. Over het algemeen wil je scores weghalen die komen door fouten of ongebruikelijke gebeurtenissen, zodat de variabiliteit niet verwijderd wordt. Er kan ook gebruik gemaakt worden van getrimde steekproeven. Hierbij wordt de Winsorized steekproef gebruikt. Een 10% Winsorized steekproef houdt in dat de laagste 10% van de scores verwijderd wordt en vervangen door kopieën van de laagste 10% scores die overblijft. Dit wordt ook bij de hoogste 10% zo gedaan.

De gemiddelde deviatie

Op het eerste gezicht lijkt de makkelijkste manier om afstanden vanaf het gemiddelden te meten, om alle afwijkingen (deviaties) uit te rekenen en hiervan het gemiddelde te nemen. Maar, omdat de helft van de scores een positieve deviatie zal hebben en de andere helft een negatieve, krijg je uiteindelijk altijd een opgetelde deviatie van 0. Dit werkt dus niet.

De gemiddelde absolute deviatie

De absolute waarde van een getal is die waarde zonder + of – teken. Hierdoor lossen we het probleem op dat opgetelde deviaties altijd 0 opleveren. Alle absolute deviaties worden opgeteld en het gemiddelde wordt hiervan genomen om tot de gemiddelde absolute deviatie te komen. Toch wordt deze nauwelijks gebruikt, omdat andere metingen handiger zijn.

Variantie en standaarddeviatie

De steekproefvariantie (s²) heeft een andere oplossing voor het probleem dat alle deviaties opgeteld op 0 uitkomen (populatievariantie heeft als notatie σ²). Deze gebruikt namelijk het feit dat een negatief getal in het kwadraat positief wordt. We tellen de gekwadrateerde deviaties op, en delen dan door N-1. We gebruiken geen N, omdat N-1 een betere schatting geeft van de populatie variantie. Vaak gebruiken we een subscript om aan te geven voor welke variabele de variantie berekend wordt: s²_x. De formule hiervoor is:

\[\frac{\sum(x-\bar{x})^2}{N-1}\]

Gebruikmakend van het voorbeeld wordt de formule voor Set 4 (X):

\[s^2_x=\frac{(1.20-2.64)^2+(1.82-2.64)^2+...+(4.02-2.64)^2}{20-1}=\frac{8.1569}{19}=0.4293\]

Voor set 32 (Y) geldt:

\[s^2_y=\frac{(3.13-3.26)^2+(3.17-3.26)^2+...+(3.38-3.26)^2}{20-1}=\frac{0.0903}{19}=0.0048\]

Uit deze formule komen gekwadrateerde eenheden. Omdat dit niet handig is met vergelijken, is de laatste stap om de wortel uit deze eenheden te nemen. Dit is de standaarddeviatie (s of σ of soms SD). Het is de positieve gekwadrateerde wortel van de variantie. In het voorbeeld wordt een s gevonden van 0.66 voor Set 4, en 0.07 voor Set 32. Dit houdt in dat, gemiddeld genomen, de scores voor Set 4 0.66 eenheden van het gemiddelde afwijken. Voor Set 32 wijken scores slechts 0.07 van het gemiddelde af.

De standaarddeviatie kan ook worden gebruikt om uit te drukken hoeveel scores niet meer dan één standaarddeviatie van het gemiddelde afwijken. Voor normaalverdelingen geldt over het algemeen dat twee derde van de scores binnen één standaarddeviatie van het gemiddelde af ligt. Ongeveer 95% van de scores vallen binnen twee standaarddeviaties van het gemiddelde.

Een andere formule voor de variantie is:

\[\frac{\sum{X^2}-\frac{(\sum{X})^2}{N}}{N-1}\]

Een andere formule voor de standaarddeviatie is:

\[s_x=\sqrt{\frac{\sum{X^2}-\frac{(\sum{X})^2}{N}}{N-1}}\]

Deze formules worden niet veel meer gebruikt, omdat het veel handberekeningen vereist.

Bij het uitrekenen van variantie en standaarddeviatie moet men erg voorzichtig zijn met extreme waarden, omdat deze metingen daar erg gevoelig voor zijn. Een extreme waarde heeft vanzelfsprekend een hoge deviatie van het gemiddelde. En hoge deviaties van gemiddelden worden disproportioneel gerepresenteerd in de variantie.

Waarvoor wordt de variatiecoëfficiënt gebruikt?

Stel dat we twee verschillende testen hebben om het langetermijngeheugen te meten. Een van de testen heeft data met een gemiddelde van 15 en een standaarddeviatie van 3.5. De andere test heeft data met een gemiddelde van 75 en een standaarddeviatie van 10.5. Voor welke test wordt gekozen? Misschien kies je de tweede, omdat die meer variatie in scores heeft en een grotere standaarddeviatie. De standaarddeviatie is echter gebaseerd op afwijkingen van he gemiddelde. Omdat de tweede test een hoger gemiddelde heeft, kunnen waarden hier makkelijker van afwijken. Om de standaarddeviatie te beoordelen, moeten we dus rekening houden met de grootte van het gemiddelde. Om de twee testen te kunnen vergelijken, moeten we dus de gemiddelden meenemen in de berekening. Dit doe je met de variatiecoëfficiënt (CV) = standaarddeviatie/gemiddelde. Vermenigvuldigen met 100 zorgt voor een percentage. De eerste test heeft een variatiecoëfficiënt van 23.3. De tweede test heeft een variatiecoëfficiënt van 14. Op basis van deze informatie zou je de eerste test kiezen.

Wat is een onpartijdige schatter?

Hoewel we meestal werken met steekproeven, proberen we altijd iets te zeggen over de populatie waarop de steekproef betrekking heeft. We gebruiken statistieken (data van steekproeven) om een schatting te maken van parameters (karakteristieken van populaties). Statistieken worden uitgedrukt in Romeinse letters en parameters in Griekse letters. Zo is het populatiegemiddelde μ (mu). Hoe goed de schatting van de parameter is, is dus afhankelijk van de statistiekkeuze. Schattingen kunnen partijdig en onpartijdig zijn. We zoeken over het algemeen naar onpartijdige.

Stel dat we van een populatie het gemiddelde weten. Als we hieruit een steekproef trekken, zal het gemiddelde dichtbij μ liggen. Toch zal het niet precies gelijk zijn aan μ. Wat we kunnen doen, is een oneindig aantal steekproeven trekken. Het gemiddelde van al die steekproeven zal wel gelijk zijn aan μ. In het geval dat de verwachte waarde van een steekproef (dus wanneer we veel steekproeven achter elkaar zouden doen) gelijk is aan μ, noemen we dat een onpartijdige schatter.

Steekproefgemiddelde en –variantie zijn onpartijdige schatters van hun parameters. Om steekproefvariantie onpartijdig te maken, moeten we echter wel delen door (N – 1) in plaats van door N. Er gaat een vrijheidsgraad verloren, omdat μ voorspelt moet worden uit het steekproefgemiddelde. Dit wordt weergegeven in de noemer van de breuk.

Wanneer wordt gebruik gemaakt van boxplots?

Een boxplot is, net als een steel-en-blad weergave, een manier om data op een handige manier uit te beelden. Eerder hebben we gezien dat de mediaan locatie gevonden wordt door (N+1)/2. Om een boxplot te maken, hebben we daarnaast het eerste en derde kwartiel nodig. De makkelijkste manier om die te vinden, is middels de kwartiel locatie.

• Kwartiel locatie: \[\frac{\text{mediaan locatie}+1}{2}\]

Net als bij de mediaan locatie vertelt de kwartiel locatie, welke scores de kwartielen zijn. Naast het eerste en derde kwartiel, maakt de boxplot gebruik van de interkwartiel range (de afstand tussen eerste en derde kwartiel), binnen afrastering en aangrenzende waarden. Binnen afrastering is het punt dat 1,5 keer de interkwartielafstand onder of boven het kwartiel valt. Stel dat de interkwartielafstand 2 is, dan is de binnen afrastering 2 x 1.5 = 3 punten verder dan de kwartielen. Aangrenzende waarden zijn de waarden in de data die het dichtst bij de binnen afrastering liggen. Stel dat de binnen afrastering tussen de -1 en 7 ligt. De laagste werkelijke waarde kan 1 zijn en dit wordt dan de lagere aangrenzende waarde genoemd. Als 7 het hoogste getal is in de binnen afrastering, dan noemen we dit de hogere aangrenzende waarde.

Een handig hulpmiddel bij binnen afrastering en aangrenzende waarden is ze te zien als een weiland met koeien, met een hek eromheen. Het hek is de afrastering. De koeien die het dichtst bij het hek staan, maar nog wel in het veld, zijn de aangrenzende waarden. De koeien daarbuiten tellen we niet mee: dat zijn uitbijters.

Om een boxplot te tekenen, maken we eerst een schaal die alle scores omvat. Dan tekenen we een rechthoekige box van Q1 naar Q3, met een verticale lijn voor de locatie van de mediaan daarin. Links en rechts van de box komen lijnen (de snorharen) van de kwartielen naar de aangrenzende waarden. De punten die extremer zijn dan de aangrenzende waarden, worden buiten de boxplot aangegeven met een punt.

Uit de boxplot kunnen we afleiden, dat het centrale deel van de distributie vrij symmetrisch is: de mediaanlijn ligt in het midden van de box. Ook zien we dat de distributie positief scheef is, omdat de snorhaar aan de rechterkant langer is dan die aan de linkerkant. Tenslotte laat de boxplot heel duidelijk zien dat er vier uitbijters zijn. Uitbijters kunnen ontstaan door een fout in de metingen, in het opnemen of verwerken van de data of het kan een waarde zijn die daadwerkelijk zo extreem is. Boxplots zijn vooral handig om de dispersie van de data te onderzoeken. Ze zijn daarom makkelijk te gebruiken bij het vergelijken van groepen. De positie van de boxplot kan vertellen waar de gemiddelde scores van een groep zich centreren.

Met het statistiekprogramma SPSS zijn metingen van centrale tendens en dispersie ook uit te voeren. Door middel van Analyze/Compare means/Means krijg je beschrijvende statistieken. Door Graphs/Interactive/Boxplot krijg je de boxplot te zien.

Wat zijn percentielen, kwartielen en decielen?

Naast kwartielen, kunnen scores ook op andere manieren worden verdeeld. Bij decielen wordt de verdeling in tienden verdeeld, waarbij het eerste deciel de laagste 10% van de scores is, het tweede deciel de laagste 20%, etc. Percentielen worden vaak gebruikt, waarbij waarden in de distributie in honderden worden verdeeld. Het 81^e percentiel is het punt in de distributie waaronder 81% van de scores ligt. Al deze verdelingstermen horen onder de algemene statistische tak van de kwantielen, ook wel fractielen.

Welk effect heeft lineaire transformatie?

Het transformeren van inches naar centimeters en graden Fahrenheit naar graden Celsius is mogelijk. Deze transformaties vallen onder lineaire transformaties, waarbij X wordt vermenigvuldigd met een bepaalde constante en een constante erbij wordt opgeteld:

\[X_\text{nieuw}=bX_\text{oud}+a\]

• a en b zijn hierbij de constanten

Om het gemiddelde en variantie van de nieuwe schaal te vinden, zijn ook formules gemaakt.

• Wanneer een constante bij data wordt opgeteld, wordt dezelfde constante ook opgeteld bij het gemiddelde:

\[X_\text{nieuw}=X_\text{oud}\pm a\] betekent ook:

\[\bar{X}_\text{nieuw}=\bar{X}_\text{oud}\pm a\]

• Als de data vermenigvuldigd (of gedeeld) wordt met een constante, wordt het gemiddelde ook met deze constante vermenigvuldigd (of gedeeld):

\[X_\text{nieuw}=bX_\text{oud}\] betekent ook \[\bar{X}_\text{nieuw}=b\bar{X}_\text{oud}\]

• Als de data gedeeld wordt met een constante, wordt het gemiddelde ook met deze constante gedeeld:

\[X_\text{nieuw}=\frac{X_\text{oud}}{b}\] betekent ook \[\bar{X}_\text{nieuw}=\frac{\bar{X}_\text{oud}}{b}\]

• Wanneer een constante wordt opgeteld of afgetrokken van de data, blijft de variantie en de standaarddevaitie hetzelfde. Dus bij X_nieuw = X_oud ± a is:

\[s^2_\text{nieuw}=s^2_\text{oud}\]

• Scores die vermenigvuldigd worden door een constante leiden tot het vermenigvuldigen van de variantie door het kwadraat van de constante en de standaarddeviatie door de constante:

\[X_\text{nieuw}=bX_\text{oud}\] leidt tot \[s^2_\text{nieuw}=b^2s^2_\text{oud}\] en \[s_\text{nieuw}=bs_\text{oud}\]

• Scores die gedeeld worden door een constante leiden tot het delen van de variantie door het kwadraat van de constante en de standaarddeviatie door de constante:

\[X_\text{nieuw}=\frac{X_\text{oud}}{b}\] leidt tot \[s^2_\text{nieuw}=\frac{s^2_\text{oud}}{b}\] en \[s_\text{nieuw}=\frac{s_\text{oud}}{b}\]

Centreren

Data wordt steeds vaker gecentreerd. Hierbij wordt het steekproefgemiddelde afgetrokken van alle observaties. Het nieuwe gemiddelde wordt dan 0.00, maar standaarddeviatie en variantie blijven gelijk.

Reflectie

Dit wordt vaak gebruikt. Met reflectie wordt de volgorde van een schaal omgedraaid. In veel onderzoeken wordt de helft van de vragen positief en de andere helft negatief gesteld, om te voorkomen dat mensen zonder na te denken steeds hetzelfde cijfer invullen. Om de scores te vergelijken op een vijfpuntsschaal, moeten de negatieve items omgedraaid worden (dus een 5 wordt een 1, een 4 een 2 etc.). Dit heet reflectie en wordt bereikt door een lineaire transformatie. In dit geval wordt gebruik gemaakt van de formule: X_nieuw = 6 - X_oud. Hierdoor wordt het gemiddelde ook veranderd, maar is er geen invloed op de variantie en standaarddeviatie.

Standaardiseren

Als bij centreren het gemiddelde van elke observatie wordt afgetrokken resulteert dit in afwijkingsscores (hoe ver ze afwijken van het gemiddelde). Centreren wordt meestal gebruikt bij regressie. Vaak worden na het centreren de afwijkingsscores gedeeld door de standaarddeviatie, waarna de scores standaardscores heten. Dit proces heet standaardisering. Door standaardisering creëer je in feite scores in standaarddeviatie-eenheden. Een gestandaardiseerde score van 0.46 is een score die 0.46 standaarddeviaties boven het gemiddelde zit.

Wat is het doel van non-lineaire transformaties?

Lineaire transformaties veranderen data, maar hebben geen invloed op de vorm van een verdeling. Non-lineaire transformaties hebben dit juist tot doel. Ze kunnen een scheve verdeling symmetrischer maken, of het effect van uitschieters verkleinen.