Hoe gebruik je de ANOVA bij twee of meer onafhankelijke variabelen? - Chapter 13

In dit hoofdstuk wordt de ANOVA besproken bij twee of meer onafhankelijke variabelen, ook wel factoren. Stel dat we een onderzoek doen naar het terughalen van informatie uit het geheugen. We laten mensen een lijst woorden leren op verschillende manieren van het tellen van het aantal letters in het woord tot het verbeelden van het woord. De eerste onafhankelijke variabele is dus de Onthoud Conditie. Daarnaast willen we weten of leeftijd invloed heeft op het terughalen van informatie, dit maakt de tweede variabele. Het experiment heeft nu een two-way factoriaal design (‘two’ voor het aantal onafhankelijke variabelen).

Elke combinatie van niveaus van de twee variabelen heet een cel. Xijk geeft aan dat het gaat om een X-waarde uit de i-de rij en de j-de kolom, als k-de observatie in de ij-de cel.

Een factoriaal design heeft twee of meer onafhankelijke variabelen, waarbij elk niveau van elke variabele aan elkaar gekoppeld is. Als we dus vijf Onthoud Condities hebben en twee Leeftijden (jong/oud), dan hebben we tien verschillende groepen participanten. Daarom wordt het design ook wel, in dit geval, 2 x 5 factoriaal genoemd. Designs worden ook wel genoemd naar het aantal onafhankelijke variabelen, dus bij twee variabelen: two-way factorial. Wanneer dezelfde participanten in meerdere groepen deelnemen is er sprake van een repeated-measures design.

Het voordeel van een factoriaal design is dat de resultaten breder en nauwkeuriger te interpreteren zijn: we kunnen in het voorbeeld ook het effect van leeftijd onderzoeken op het terughalen van informatie. Terwijl we ook over de variabelen apart nuttige dingen kunnen zeggen. Daarnaast geven factoriele designs de kans om de interactie van variabelen te onderzoeken. We kunnen kijken of jongere participanten meer verschillen in resultaten tussen de Onthoud Condities dan de oudere participanten bijvoorbeeld. Ook zijn er minder participanten nodig.

Voorbeeld

We gaan verder met het voorbeeldonderzoek naar het terughalen van woorden uit het geheugen. We voeren het onderzoek uit en plotten de gemiddelde scores per participant in een tabel. Eén manier om naar de data te kijken, is puur te kijken naar de gemiddelde score van de jonge groep (ongeacht conditie) versus de oude groep. Dit is het algemene effect van leeftijd. Daartegenover kunnen we alleen kijken naar de gemiddelden van de vijf condities, en leeftijd negeren. Dit is het algemene effect van Conditie.

Wat ook kan, is het onderzoeken van de verschillende niveaus van één factor, op slechts één niveau van de andere factor. Bijvoorbeeld door het vergelijken van jongeren en ouderen op de Tel Onthoud Conditie. Dit heet een simpel effect of soms een conditioneel effect.

Welke berekeningen zijn belangrijk?

Voor veel van de calculaties worden de formules gebruikt zoals bij de one-way ANOVA in de vorige hoofdstukken. SS_totaal is weer gelijk aan de gekwadrateerde som van alle verschillen tussen de individuele scores en het totaalgemiddelde:

\[SS_{totaal}=\sum(\bar{X}-X)^2\]

Daarnaast berekenen we een SS voor beide factoren (leeftijd L en Conditie C). Elke factor apart is eigenlijk gelijk aan de SS_behandeling die we bij een one-way ANOVA berekenen. In de formule vermenigvuldigen we met n participanten per groep (dus 10 in dit geval) over c niveaus van de andere variabele (dus voor SS_A geldt: 10 x 5).

\[SS_L=nc\sum(\bar{X_i}-X)^2\]

De laatste term is een maat voor de variatie van individuele cellen in de overzichtstabel: SS_cellen. Voor elke cel is er een gemiddelde, waarvan we het verschil met het totaalgemiddelde berekenen. Dit wordt gekwadrateerd en opgeteld. Vervolgens vermenigvuldigd met n observaties per groep.

\[SS_{cellen}=n\sum(\bar{X_{ij}}-X)^2\]

SS_cellen vertelt ons hoeveel de celgemiddelden verschillen. Dit kan op drie manieren: (1) ze komen van verschillende niveaus van leeftijd, (2) ze komen van verschillende niveaus van conditie, of (3) er is een interactie tussen leeftijd en conditie. SS_L vertelt ons hoeveel van dit verschil door verschillen in leeftijd komt, en SS_C vertelt ons hoeveel van dit verschil door verschillen in conditie komt. Het overige komt door het interactie-effect.

• SS_LC = SS_cellen - S_L - S_C

Nu moeten we SS_error berekenen. Hierbij geldt:

• SS_error = SS_totaal – (SS_L + SS_C + SS_LC). Dit is hetzelfde als SS_error = SS_totaal - SS­_cellen

Voor de vrijheidsgraden geldt:

• df_totaal = N – 1 (met N het totaal aantal participanten)
• df_L en df_C = aantal niveaus – 1
• df_LC = df_L x df_C
• df_error = df_totaal- df_LC - df_L – df_C of ac(n - 1), omdat elke cel n-1 df heeft en er ac cellen zijn

Daarna berekenen we de MS door elke SS te delen door de bijbehorende df.

Om F te berekenen, delen we elke MS door MS_error. Zowel de factoren Leeftijd en Conditie apart, als hun interactie, krijgen dus een F score.

Interpretatie

Uit het onderzoek komen alle drie de F scores significant. Het hoofdeffect van leeftijd is dat jongere participanten meer woorden onthouden dan oudere participanten. Het hoofdeffect van conditie is dat de taken met meer verwerkingsdiepte leiden tot het onthouden van meer woorden dan de taken met minder verwerkingsdiepte.

Een significant interactie-effect houdt in, dat het effect van de ene variabele afhangt van het niveau van de andere variabele. Dus, jongere participanten deden het een stuk beter bij de moeilijkere verwerktaken, maar ongeveer even goed bij de makkelijke taken, zoals het rijmen, als de oudere participanten. Wanneer we Conditie plotten in een grafiek, en een aparte lijn maken per leeftijd, dan zien we de interactie in het feit dat de lijnen niet parallel lopen. Let op: wanneer de lijnen grillig lopen, maar wel parallel aan elkaar, dus in hetzelfde patroon, is er dus géén interactie.

Het model

De formule voor het two-way design is een uitbreiding op die van de one-way:

\[X_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+\alpha\beta_{ij}+e_{ijk}\]

• X_ijk = een enkele score
• μ = het totaalgemiddelde
• α_i = het effect van Factor A_i = μ_Ai – μ
• β_j = het effect van Factor B_j = μ_Bj – μ
• αβ_ij = het interactie-effect van Factor A_i en Factor B_j
• e_ijk = eenheid van error van observatie X_ijk
• N(0, σ²_e)

Wanneer wordt het simpele effect berekend?

Wanneer significante interacties zijn gevonden, kan het belangrijk zijn om de data verder te analyseren: welke niveaus van de variabelen zorgen voor verschillende scores? Hiervoor is het simpele effect te berekenen. Reken altijd alleen de simpele effecten uit waarin je geïnteresseerd bent. Bij teveel simpele effecten, wort de familie error rate te hoog of verlies je power.

Voor de SS gebruiken we de eerdere formule voor de factor, maar met een kleine aanpassing in het weglaten van het aantal niveaus van de andere factor, bijvoorbeeld:

SSC bij Oude groep = Σ(X_1j - X₁)², waarbij we de data gebruiken van de oude participanten

De vrijheidsgraden vinden we door het aantal niveaus per factor -1 (dus bij Leeftijd 2-1 = 1).

De MS vinden we weer door SS/df.

Met deze informatie is de F te berekenen voor elke mogelijke combinatie in de interactie apart. Conditie is te koppelen aan Jonge, en Oude mensen, en Leeftijd is te koppelen aan vijf verschillende condities (zie Tabel 16 als voorbeeld).

Tabel 16

Als we kijken naar het effect van leeftijd, dan zien we dat leeftijdsverschillen niet voorkomen bij de lagere niveau taken zoals tellen en rijmen, maar wel bij de hogere niveaus.

Voorbeeld

Het volgende voorbeeld behandelt de variantieanalyse met computerberekeningen. Onderzoekers waren geïnteresseerd in de invloed van roken op prestatie. Ze lieten participanten één van drie taken doen (een doelwit zoeken, een stuk tekst onthouden en een rijvaardigheidsspelletje). De afhankelijke variabele is het aantal fouten dat de participant maakt. Er waren drie groepen gebaseerd op rookgedrag: Actief roken (tijdens of net voor de taak), Rokers die tot 3 uur voor de taak niet hadden gerookt, en Niet rokers. Uit de SPSS output zijn de volgende termen belangrijk om te noemen.

De regel ‘corrected model’ in de output is de som van de algemene effecten en de interactie, en is significant in dit geval (p = .000). ‘Intercept’ is een test op het grote gemiddelde en sinds deze significant is, zegt dit dat het grote gemiddelde verschilt van 0,00. ‘Corrected total’ noemen wij normaal totaal en ‘Total’ is ∑X²/N. Zowel de algemene effecten voor Taak en Rookgroep zijn significant, alsook de interactie tussen Taak x Rookgroep.

Simpel effect

Om te achterhalen welke gemiddelden significant van elkaar verschillen kunnen de testen uitgevoerd worden die in hoofdstuk 12 genoemd zijn, zoals lineaire contrasten en Bonferroni t-toets.

Stel dat we specifiek willen weten wat het effect is van roken op de cognitieve (onthoud) taak. We willen de actieve rokers en de niet rokers vergelijken. In SPSS kiezen we om alleen naar de data van de cognitieve taak te kijken door Data/Select Cases. Met Compare Means/One-way ANOVA krijgen we de uitslag. De F is significant: actieve rokers doen het minder goed op de test dan niet rokers.

Hoe wordt de power van een factoriaal design berekent?

De berekening van de power van een factoriaal design is in feite hetzelfde als bij de one-way designs. Nu hebben we echter meer dan één onafhankelijke variabele, waarbij we het effect berekenen van elke variabele apart:

\[\varphi'\alpha=\sqrt{\frac{\sum{\alpha^2_j}}{a\sigma^2_e}}\]

\[\varphi\alpha=\varphi'\alpha\sqrt{nb}\]

Voor behandeling Bj, worden de α’s vervangen door β’s.

Voor het interactie-effect van beide variabelen geldt:

\[\varphi'\alpha\beta=\sqrt{\frac{\sum{\alpha\beta^2_{ij}}}{ab\sigma^2_e}}\]

\[\varphi\alpha\beta=\varphi'\alpha\beta\sqrt{n}\]

waar αβ_ij = μ – μ_i. – μ_j. + μ_ij. μ_i. is het parametrisch gemiddelde van Variabele A (over alle niveaus van B) en μ.j van Variabele B over alle niveaus van A.

Zie Tabel 17 voor fictieve resultaten van de rookstudie. De gemiddelden van alle groepen staan genoemd, alsook de parametrische gemiddelden.

Tabel 17

De power is in dit geval .295.

Als extra factoren of variabelen variantie verklaren, die normaal onder de error variantie valt, heeft een factorieel design meer power. Als er random factoren aan een model met fixed factoren worden toegevoegd, kan dit ten koste gaan van power.

Welke andere experimentele designs zijn er?

Tot nu toe hebben we de traditionele benadering van het vergelijken van gemiddelden gevolgd. Een onderzoeker kiest een paar niveaus van elke onafhankelijke variabele, en kruist die met elkaar.

Soms wijken onderzoekers af van deze traditionele aanpak. Zo worden onafhankelijke variabelen soms willekeurig genomen (zoals Klas als factor gebruiken), waardoor we een willekeurige factor krijgen. Willekeurige factoren gaan vaak samen met een nested design, waarbij één onafhankelijke variabele genesteld ligt in de ander. Als we Klas als factor gebruiken, maar bij het trekken van de steekproef tien klassen uit district A en tien uit district B gebruiken, dan zit eigenlijk binnen de Klas variabele nog een variabele genesteld. Dit heet een nested design.

In het volgende stuk worden enkele afwijkende designs behandeld, telkens met dezelfde data maar met andere namen waar nodig.

Elke statistische test interpreteert de F-toets op de volgende manier: ‘stel de nulhypothese is juist en het experiment is 10.000 keer herhaald, hoe vaak zal de F-waarde zo extreem zijn als in dit experiment?’ Een fixed effect design is een design waarin de niveaus van de onafhankelijek variabele vast zijn en hetzelfde zijn van de ene replicatie naar de ander. De enige term in de formule voor dit model die verandert, is de error eijk.

\[X_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+\alpha\beta_{ij}+e_{ijk}\]

Gekruist design met fixed variabelen

Het originele voorbeeld dat we hier gebruiken, van het effect van onthoud-methode op het terughalen van informatie, is een gekruist experimenteel design met fixed factoren. Elk niveau van de ene onafhankelijke variabele wordt gekoppeld met elk niveau van de andere (in dit geval leeftijd en onthoud-conditie). Deze niveaus zijn fixed omdat we deze expres gekozen hebben.

Gekruist design met random variabele

Soms zullen we een ontwerp hebben met een fixed factor en een willekeurige of random factor. Stel dat we willen testen of mensen sneller hoofdletters dan kleine letters herkennen. De lettergrootte is een fixed factor. Door een steekproef uit het alfabet selecteren we vijf letters die we gebruiken in het experiment (A, G, D, K, W). Deze variabele ‘letters’ is een random factor.

Omdat één van de factoren willekeurig is, zullen we bij een herhaling van het experiment andere letters selecteren en zullen de F waardes dus ook verschillen op basis van de letters die we selecteren. Een belangrijk feit hierbij is, dat het hebben van een random effect de test voor het fixed effect (in dit geval: Lettergrootte) verandert.

Om te laten zien welk effect random factoren hebben, moeten we kijken naar de verwachte mean squares. Deze worden weergegeven in tabel 18:

Bij een fixed en een random variabele wordt de F test voor de fixed variabele:

• Voor random variabele: E(F) = E(MS_b/MS_error) = (σ²_e + nbσ²_β)/ σ²_e
• Voor interactie effect: E(F) = E(MS_AB/MS_error) = (σ²_e + nσ²_αβ)/ σ²_e
• Voor fixed variabele: E(F) = MS_A/MS_AB = E(σ²_e + nσ²_αβ + nbσ²_α)/( σ²_e + nσ²_αβ)

Nested designs

Stel dat we willen onderzoeken of vrouwelijke studenten van een universiteit betere therapeuten zijn dan mannelijke studenten. De faculteit trekt een steekproef uit alle afgestudeerden van dat jaar (n = 10) en splitst ze op basis van geslacht. Dan laten we elk met tien cliënten werken en we kijken naar behandeleffectiviteit. Het Geslacht is in dit geval een fixed variabele, omdat we hier expres naar kijken. We noemen Therapeut een random factor omdat we willekeurig een steekproef hebben getrokken. Daarnaast is Therapeut een nested factor omdat dit niet af te splitsen is van Geslacht: Marie wordt nooit een mannelijk therapeut en Bob nooit een vrouwelijke, ze zijn dus niet te kruisen.

De variabiliteit in F is afhankelijk van random error en afhankelijk van welke therapeuten uit de steekproef komen. Omdat het om een nested design gaat, kunnen  we geen interactie-effect berekenen. Het effect voor Geslacht wordt op de normale manier te berekenen, maar voor de variabele Therapeut kunnen we alleen verschillen tussen therapeuten binnen vrouwen en binnen mannen berekenen. De notatie hiervoor is ‘Therapeut binnen Geslacht’ of Therapeut(Geslacht). De formule is:

\[X_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_{j(i)}+e_{ijk}\]

• waarbij we met β_j(i)aangeven dat Therapeut in Geslacht ligt

Voor het berekenen van de effecten in een nested design, zijn de meeste berekeningen voor de hand liggend. De SS_geslacht is weer de gekwadrateerde afwijkingen voor elk geslacht, keer het aantal observaties per geslacht. Voor het Geneste effect nemen we het simpele effect van therapeuten voor mannen en vrouwen apart, en tellen die effecten op:

• SS_{therapeut(geslacht)} = SS­_{therapeut(man)} + SS_{therapeut(vrouw)}

Voor de error berekenen we de SS_error voor elke Therapeut/Geslacht cel en tellen deze op.

Voor de berekening van F geldt, bij een nested design met een random variabele binnen een fixed variabele, dat er twee error termen gebruikt worden. Error₁ voor Geslacht en Error₂ voor Therapeut(Geslacht). Error1 is gelijk aan Therapeut(Geslacht).

Door het gebruik van een random factor is de power enorm afgenomen. De power is afhankelijk van het aantal participanten en het aantal niveaus van een random variabele.

Hoe wordt de effectgrootte van de gehele ANOVA berekent?

Voor het berekenen van een effect van de gehele ANOVA (de totale F), gebruiken we een r-familie meting. Voor een contrast tussen gemiddelden is een d meting handiger.

r-familie

Voor de η² van variabele A geldt: SS_A/SS_totaal. Voor het interactie-effect tussen A en B geldt: SS_AB/SS_totaal. Deze maat van het effect is vrij slecht, omdat hij niet goed het ware effect in de populatie weergeeft. Een betere statistiek is ω². De formule hiervan is hetzelfde voor de fixed en random variabelen, alleen de componenten in de formule worden anders berekend.

σ²_totaal is de som van alle variantiebronnen (A, B, AB en error) en σ²_effect s de variantie voor het effect van de onafhankelijke variabele waarin we geïnteresseerd zijn, bijvoorbeeld A: σ²_a

\[\omega^2_{\alpha}=\frac{\sigma^2_a}{\sigma^2_{totaal}}=\frac{\sigma^2_a}{(\sigma^2_a+\sigma^2_{\beta}+\sigma^2_{a\beta}+\sigma^2_e)}\]

\[\sigma^2_a=\frac{(a-1)(MS_A-MS_{AB})}{nab}\]

Partieel effect

Een betere maat van het effect is het partieel effect (partieel ω²), waarbij we het effect van de factor berekenen op basis van een deel van de variatie (zoals roken plus error) in plaats van de totale variatie SS_totaal.

• partieel ω² = σ²_effect / (σ²_effect + σ²_e)

d-familie

Bij het bekijken van individuele groepen of sets van groepen is de d-familie beter te gebruiken. De d berekening wordt vrij gecompliceerd wanneer steekproefgroottes ongelijk zijn (ongebalanceerd design). Hier wordt alleen een gebalanceerd design besproken met gelijke aantallen in de steekproef.

\[d=\frac{\hat{\Psi}}{s}\]

• waarbij d het verschil tussen de groepen geeft in standaarddeviaties. De ‘hoedjes’ geven aan dat het schattingen zijn met gebruik van de steekproefdata.

We gaan terug naar het voorbeeld van het Terughalen van informatie (een aantal woorden), bij Jongere en Oudere mensen en middels verschillende Onthoud Condities. Stel dat we geïnteresseerd zijn in het verschil tussen de ‘makkelijkere’ onthoud-methodes Tellen en Rijmen, versus de moeilijkere Adjectief (bijvoeglijk naamwoord) en Verbeelden.

Voor het contrast maken we de coëfficiënten:

\[\Psi=(\frac{1}{2})(Gem_{tellen})+(-\frac{1}{2})(Gem_{rijmen})+(\frac{1}{2})(Gem_{adjectief})+(\frac{1}{2})(Gem_{verbeelden})+(0)(Gem_{intentie})\]

Hierover kan vervolgens ook de t-waarde berekend worden. In de formule voor de effectgrootte komt de error term voor. Bij een normale one-way ANOVA op de Conditie variabele zou de term alleen de SSerror bevatten, maar de variabele leeftijd zal de scores beïnvloeden en hiervoor moeten we in de formule een aanpassing maken. Daarom brengen we SS_leeftijd en SS_{leeftijd∙conditie} ook in de formule (en wanneer we het effect van leeftijd onderzoeken, zullen we daartegenover rekening moeten houden met conditie).

\[s_{error}=\sqrt{\frac{SS_{error}+SS_{Leeftijd}+SS_{L\times C}}{df_{error}+df_{Leeftijd}+df_{L\times C}}}\]

Vervolgens kan de effectgrootte (d-waarde) berekend worden.

Bij simpele effecten gebruiken we dezelfde berekeningen als hierboven. De error term s is die van het bijbehorende algemene effect.

Hoe is de rapportage van de bevindingen opgebouwd?

De rapportage van bevindingen van het onderzoek zou de volgende uitspraken kunnen bevatten:

• Er was een significant Leeftijd effect (F(1,88)= 30.01, p < .05, ω² = .065), waarbij jongere participanten meer items onthielden dan oudere.
• Er was ook een significant Conditie effect (F(4,90)= 45.13, p < .05, ω² = .544), en inspectie van de gemiddelden toonde dat er meer items onthouden werden wanneer de verwerking dieper was.
• Ook de Leeftijd bij Conditie was significant (F(4,90)= 5.66, p < .05, ω² = .06), met een sterker effect voor conditie bij jongere participanten.
• Een contrast van de lagere niveaus van verwerking versus de hogere niveaus toonde een statistisch significant effect met betere resultaten voor hogere niveaus (t (90) = 7.98, p < .05). Dit correspondeert met een effectgrootte van d = 2.05, wat aanduidt dat participanten met hogere niveaus van verwerking gemiddeld twee standaarddeviaties hoger scoren. Dit effect wordt nog groter wanneer we alleen kijken naar de jongere participanten d = 2.55.

Wat is de procedure bij ongelijke steekproefgroottes?

Eerder is al uitgelegd hoe we bij een one-way ANOVA kunnen corrigeren voor ongelijke steekproefgroottes. Bij meer complexe designs is de oplossing niet zo simpel. De rijen, kolommen en interactie effecten zijn niet meer onafhankelijk, waardoor de interpretatie bemoeilijkt wordt. De meest redelijke en algemene aanpak voor het corrigeren van ongelijke steekproefgroottes maakt gebruik van een computer berekening (zoals in SPSS).

Welke hogere orde factoriale designs zijn er?

In dit hoofdstuk is het factoriale design uitgelegd voor een design met twee factoren. Het design is echter ook vaak te gebruiken bij drie of meer factoren. De berekeningen zijn grofweg hetzelfde, het grote verschil zit in de aanwezigheid van meer dan één interactie-term. Neem de formule voor een design met drie factoren:

\[X_{ijkl}=\mu+\alpha_i+\beta_j+\gamma_k+\alpha\beta_{ij}+\alpha\gamma_{ik}+\beta\gamma_{jk}+\alpha\beta\gamma_{ijk}+e_{ijkl}\]

We zien hierbij twee soorten interactie-termen. De αβ_ij, αγ_ik en βγ_jk termen zijn eerste-orde interacties. Een tweede-orde interactie is de term αβγ_ijk, die de drie variabelen samen neemt. Dit is in feite de interactie tussen AB op verschillende niveaus van C of AC en B of BC en A.

Om de sum of squares van de interacties te verkrijgen wordt eigenlijk hetzelfde gedaan als bij een two-way design.  Voor SS_BC nemen we de BxC cel gemiddelden, verkrijgen SS_cellenBC, en trekken hier de hoofdeffecten van B en C af. Ditzelfde geldt voor SS_AB en SS_AC. Voor SS_ABC kijken we naar de AxBxC cel gemiddelden, verkrijgen we SS_cellenABC en tekken de hoofdeffecten en lagere-orde interacties eraf voor SS_ABC.

Voorbeeld

We onderzoeken de rijvaardigheid van onervaren (A1) en ervaren (A2) mensen. Deze mensen rijden op drie typen wegen: eerste klas (B1), tweede klas (B­2) en derde klas (B3), en overdag (C1) of ’s nachts (C2). We hebben een 2 x 3 x 2 factoriaal design.

Elke conditie krijgt vier participanten (in totaal 48 participanten), en we meten rijvaardigheid met het aantal stuurcorrecties over één kilometer.

De berekeningen voor de algemene effecten zijn hetzelfde als bij een one-way ANOVA. Voor de eerste-orde interacties gelden de berekeningen als uitgelegd in de two-way ANOVA. Een nieuwe berekening is die van de tweede-orde interactie. Hiervoor moet eerst SS_celABC berekend worden, wat de totale variatie is in cel gemiddelden in het hele design. Daarvan moet vervolgens de variatie worden afgetrokken die door de algemene effecten en de eerste-orde interacties wordt veroorzaakt. Dan blijft vanzelf de variatie over die alleen door het gedeelde effect van alle drie de variabelen is veroorzaakt: SS_ABC.

• SS_error is vervolgens makkelijk te berekenen door SS_totaal – SS_ABC.

Uit de berekeningen komt een significant resultaat naar voren van alle hoofdeffecten en de interactie AC. Hiervoor kunnen we vervolgens dieper naar de verschillen gaan kijken (Howell, 2013: 450). Een plot van variabele C op de X-as, aantal stuurcorrecties op de Y-as en voor A₁ en A₂ in de grafiek laat zien, dat de onervaren bestuurder veel meer stuurcorrecties maakt wanneer er ’s nachts gereden wordt in vergelijking met overdag. Er is weinig verschil bij de ervaren bestuurder (een vrijwel horizontale lijn). Wellicht is er alleen een significant simpel effect van C bij onervaren bestuurders. Hiervoor berekenen we SSc voor A₁ en A₂ apart, en vervolgens voor beide A’s een aparte F. Uiteindelijk blijken de simpele effecten voor zowel onervaren als ervaren bestuurders significant: beide groepen bestuurders rijden significant slechter in het donker.

Het simpele interactie effect is het effect van de interactie tussen twee variabelen bij individuele niveaus van de derde variabele.