Welke andere correlatietechnieken zijn er? - Chapter 10

De Pearson correlatiecoëfficiënt r wordt gebruikt bij lineaire relaties tussen twee variabelen, waarbij die variabelen continu zijn. Daarnaast zijn er assumpties van normaliteit en homogeniteit van variantie. Bij andere soorten data is een andere vorm van r nodig. Waar alle testen van correlatie in gelijk zijn, is dat ze proberen de relatie tussen twee variabelen te meten. Er is altijd een bepaalde volgorde in de variabelen, zodanig dat een hogere score meer van die variabele representeert.

In sommige gevallen is er wel een relatie tussen variabelen, die echter geen bepaalde volgorde aanneemt. Stel dat we mensen indelen op basis van hun politieke partij, en dan de relatie tussen partij en bepaalde overtuigingen onderzoeken. Er zal misschien een associatie zijn, maar er is geen volgorde of orde in deze associatie. In dat geval meten we niet de correlatie, maar de associatie.

We berekenen een correlatiecoëfficiënt om een schatting te maken van de correlatie in de populatie. Daarnaast wordt het vaak gebruik in berekeningen van andere statistieken. Als de correlatiecoëfficiënt gekwadrateerd wordt geeft dit aan hoeveel variatie in een variabele verklaard wordt door de variatie in een andere variabele. Dit geeft een effectgrootte weer.

Waarvoor wordt punt-biseriële correlatie gebruikt?

Punt-biseriële correlatie (r_pb)

In het geval van een dichotome variabele, een variabele met twee niveaus (sekse, slagen/falen, experiment/controle), is dezelfde formule te gebruiken als voor de normale Pearson r. Deze variabelen zijn niet continu van aard, en een normale verdeling is daarom niet geschikt. Dit creëert vooral problemen voor het schatten van de populatie variabele ρ. Hoe dit op te lossen is, komt later. De standaard Pearson coëfficiënt is gewoon uit te rekenen en heet in dit geval de punt-biseriële coëfficiënt (r_pb). Hierbij is er dus één variabele dichotoom en één ongeveer continue en ongeveer normaal verdeeld.

Voor het berekenen van r_pb moet elk niveau van de dichotome variabele een score krijgen, zoals man = 0, vrouw = 1. Hoe deze variabelen worden gecodeerd, maakt niet uit.

Stel dat we onderzoeken wat het verband is tussen sekse en gewicht. De correlatie (via de normale r formule) is -.58. Het negatief-teken kunnen we negeren, dit betekent alleen dat het gemiddelde gewicht van groep 1 (vrouw) lager is dan dat van groep 0 (man). r² betekent weer variatie: -.582 = 34% van de variatie in gewicht kan verklaard worden door sekse.

Bij dichotome variabelen gebeurt er iets interessants met de formule voor de regressielijn. De intercept (a) is de waarde van Y wanneer X = 0. Omdat X = 0 de waarde is voor mannen, is het intercept gelijk aan het gemiddeld gewicht voor mannen. De helling van de regressielijn (b), is de verandering in Y bij een toename in X van één eenheid. X + 1 is de verandering van man naar vrouw, en omdat de regressielijn door de gemiddelden van het gewicht van de mannen en vrouwen snijdt, is deze verandering gelijk aan het verschil in gemiddeld gewicht.

Relatie tussen r_pb en t

Voor de relatie tussen r_pb en t geldt:

\[r^2_{pb}=\frac{t^2}{(t^2+df)}\]

De t is hier verkregen uit de t test voor verschil tussen gemiddelden en df = N₁ + N₂  - 2.

Door de formule anders te schrijven, is de t test af te leiden om de significantie van r²_pbt e testen met een nulhypothese (H₀ : ρ = 0).

\[\frac{r_{pb}\sqrt{N-2}}{\sqrt{1-r^2_{pb}}}\]

Effectgrootte

Een laatste stap is het berekenen van de effectgrootte. Hiervoor kan weer de Cohen’s d gebruikt worden.

\[d=\frac{(\mu_1-\mu_2)}{\sigma}\]

Er is een directe relatie tussen de gekwadrateerde punt-biseriële correlatiecoëfficiënt en d:

\[d=\frac{\bar{X_1}-\bar{X_2}}{s_{pooled}}=\sqrt{\frac{df(n_1+n_2)r^2_{pb}}{n_1n_2(1-r^2_{pb})}}\]

Stel dat we in het voorbeeld een effectgrootte vinden van d = 1.4. De conclusie hierbij is, dat het verschil tussen de gemiddelde gewichten van mannen en vrouwen 1.4 standaarddeviatie is.

Het betrouwbaarheidsinterval wordt gevonden met de standaardfout van gestandaardiseerde gemiddelde verschillen:

\[s_d=\sqrt{\frac{d^2}{2(n_1-1)(n_2-1)}+\frac{N}{n_1n_2}}\]

Met z_.025 = 1,96, worden de betrouwbaarheidsgrenzen aangegeven met:

• d ± s_d(z_.025) = d ± s_d x 1,96

Waarvoor wordt de phi-coëfficiënt gebruikt?

De punt-biseriële coëfficiënt wordt gebruikt wanneer een van de twee variabelen dichotoom is. Wanneer beide variabelen dichotoom zijn, zoals bij de relatie tussen sekse en werkstatus (wel of niet werken), gebruiken we de φ (phi) coëfficiënt.

De φ coëfficiënt is weer gelijk aan Pearson r en kent dezelfde formule. De variabelen moeten hierbij gecodeerd worden naar keuze (bijvoorbeeld beiden met waarden 0 en 1). Om de significantie van φ te testen tegen H₀ : ρ = 0 is een chi-kwadraat test nodig met 1 vrijheidsgraad. Hiervoor geldt:

\[X^2=N\varphi^2\]

en andersom geldt:

\[\varphi=\sqrt{\frac{x^2}{N}}\]

De chi-kwadraat waarde is ook te berekenen met een contingentie tabel. χ² geeft de statistische significantie van een relatie en φ geeft de mate van deze relatie

Dit heen en weer gaan tussen χ en φ kan belangrijk zijn bij het interpreteren van een resultaat. Stel dat we een φ vinden van .11. De variatie in scores, verklaard door de relatie tussen de twee variabelen, is dan slechts 1.2%. De bijbehorende χ² kan echter wel een groot significant effect geven, wanneer de steekproef groot genoeg is.

Wat is het verschil tussen biseriële en tetrachorische correlatie?

Het is niet altijd zo zwart-wit als je bent vrouw of je bent man. Zo zitten er in falen of slagen een soort niveaus; enorm falen, een beetje falen, net slagen, etc. De biseriële correlatie neemt deze normaal verdeelde dichotome variabele mee. Een tetrachorische correlatie is het analoog van phi, met normaliteit voor beide variabelen.

Welke correlatiecoëfficiënten worden gebruikt bij geordende data?

Bij sommige experimenten wordt een rangvolgorde aangegeven een objecten of personen, en willen de onderzoekers de relatie weten tussen de twee sets van rangvolgordes (bijvoorbeeld de rangvolgorde in populaire steden vergelijken in 1990 en 2000).

In andere situaties kunnen rangvolgordes zelf gecreëerd worden, waarbij ruwe scores worden omgezet in rangen. Hierdoor worden uitschieters minder van belang.

Data rangschikken

Stel dat we de volgende ruwe data hebben, die we op oplopende volgorde zetten:

• X : [2, 4, 4, 5, 7, 13, 13, 13, 18]
• Rang : 1, 2.5, 2.5, 4, 5, 7, 7, 7, 9

De laagste waarde (2) krijgt rangnummer 1. De volgende twee waarden zijn gelijk (4). Ze zouden normaal rang 2 en 3 krijgen, dus nu krijgen ze de gemiddelde rang (2.5). Voor de volgende twee scores (5 en 7) zijn rang 4 en 5. We hebben dan drie dezelfde waarden (13), die rang 6,7,8 zouden krijgen, maar nu het gemiddelde (7) als rang krijgen.

Spearman’s correlatie coëfficiënt (r_s)

Bij gerangschikte data gebruiken we Spearman’s correlatiecoëfficiënt voor gerangschikte data (r_s), ook wel Spearman’s rho genoemd. Hiervoor bestaat een originele formule, maar over het algemeen wordt dezelfde formule als die voor Pearson r gebruikt.

r_s is lastig te testen op statistische significantie, omdat de data niet normaal verdeeld is. Ook het berekenen van betrouwbaarheidsintervallen is daardoor niet praktisch. De meeste onderzoekers behandelen r_s als een normale r en zijn dan voorzichtig met het trekken van conclusies bij grensgevallen.

Kendall’s Tau (τ)

Naast r_s is Kendall’s tau (τ) te gebruiken bij gerangschikte data. Spearman ziet de rangen als scores en berekent de correlatie tussen de rangen, maar Kendall baseert zijn τ op het aantal omzettingen (inversies) in de rangen. Zie Tabel 12 voor een voorbeeld. Beide variabelen (Alcohol en Tabak) zijn te rangschikken in oplopende volgorde. Bij een perfect ordinale relatie tussen de twee, zijn er geen inversies, maar in dit geval zijn die er wel. De kolom ‘omzettingen’ wordt berekend door naar de tweede variabele te kijken en te tellen hoeveel rangen onder de huidige rang in de tabel lager zijn. Dus, bij rij 1 heeft Tabak rangnummer 4, en onder deze waarde komen drie waarden die lager zijn, dus heeft het drie omzettingen. Bij rij 3 heeft Tabak rangnummer 3, en daaronder is alleen rangnummer 2 lager dus heeft het één omzetting.

Tau berekenen

Om τ te berekenen, hebben we eerst het aantal paren scores nodig. Dit is te vinden met de formule N(N-1)/2. In dit geval dus 4(4-1)/2 = 6. Sommige van die paren zijn omzettingen (ook wel disharmonisch : D, genoemd). Het aantal paren dat bestaat uit omzettingen is te vinden door de laatste kolom op te tellen. In dit geval vier omzettingen. Het aantal niet-omgezette paren is het totaal aantal paren min het aantal omzettingen. Dat zijn er hier dus twee.

\[\tau=1-\frac{2(\text{aantal inversies})}{\text{aantal paren van objecten}}=\frac{2D}{\frac{N(N-1)}{2}}\]

• waarbij D het aantal inversies is.

Stel dat uit het onderzoek een τ komt van .35. Hiermee zeggen we dat wanneer de twee variabelen samen random in een steekproef worden getrokken, de kans op eenzelfde rang bij die twee variabelen .35 hoger is dan de kans dat ze in omgekeerde volgorde gerangschikt zijn.

Significantie van τ

De verdeling van τ is normaal, wanneer N groter is dan of gelijk is aan tien. Hierdoor kunnen we met de standaardfout τ, de z waarde berekenen.

\[s_{\tau}=\sqrt{\frac{2(2N+5)}{9N(N-1)}}\]

en

\[z=\frac{\tau}{s_{\tau}}\]

Met de z waarde is op te zoeken of de overschrijdingskans statistisch significant is.

Voor het betrouwbaarheidsinterval geldt:

• CI = τ ± 1,96s_τ

Hoe gaat de analyse van geordende data in zijn werk?

Stel dat we bij onafhankelijke variabelen de relatie willen onderzoeken, maar te maken krijgen met geordende data (ordinale variabelen). Dan is een chi-kwadraat test niet voldoende, omdat deze geen rekening houdt met ordening in de variabelen.

Als voorbeeld een onderzoek naar de relatie tussen drop-out uit een eetstoornis-behandeling en het aantal traumatische gebeurtenissen dat de patiënten in hun jeugd hebben meegemaakt. Drop-out (het uitvallen uit de behandeling) is een dichotomie en kan gescoord worden als 0 (blijven) en 1 (uitvallen). Voor het aantal traumatische ervaringen krijgt iedere patiënt een score tussen 0 en 4.

Pearson’s r

De beste methode om de relatie te onderzoeken, is door de twee variabelen simpelweg te correleren. De correlatie tussen de twee variabelen is .23, met een p van .02. Dit is groter dan de gestelde alfa van .05 dus de correlatie is significant.

Door middel van deze r kunnen we een Chi-kwadraat-achtige statistiek (M²) berekenen, waarmee we de lineaire relatie tussen de twee variabelen kunnen achterhalen.

• M² = (N – 1)r²

Dit is een chi-kwadraat met één vrijheidsgraad. Vervolgens kunnen we dit lineaire deel van de pearson chi-kwadraat aftrekken om de afwijking van lineairiteit te krijgen. Ook de vrijheidsgraden worden van elkaar afgetrokken. Vervolgens kan bekeken worden of de afwijking van lineairiteit significant is.

Wanneer wordt Kendall’s coëfficiënt van overeenstemming gebruikt?

Stel dat zes onderzoekers acht kleuren moeten rangschikken naar ‘meest aangename kleur’. Wanneer alle onderzoekers de kleuren op dezelfde manier rangschikken (dus kleur A krijgt van iedereen rang 1), dan zouden de opgetelde rangen per kleur sterk verschillen (kleur A krijgt dan 6 punten, kleur B bijvoorbeeld 12, etc.). Wanneer er weinig overeenkomst is tussen de onderzoekers, dan heeft elke kleur een aantal hogere en lagere rangen en zal het rangtotaal per kleur grofweg gelijk zijn.

Kendall maakt gebruik van dit rangtotaal en stelt dat bij random gedrag, of weinig overeenkomst, tussen onderzoekers, de variatie in rangtotalen laag is. Deze ratio aan variatie noemde hij W.

W = variantie van kolomtotalen / maximaal mogelijke variantie van kolomtotalen.

\[W=\frac{12\sum{T^2_j}}{k^2N(N^2-1)}-\frac{3(N+1)}{(N-1)}\]

• waarbij T_j de kolomtotalen aangeeft, N het aantal items die geordend moet worden en k het aantal onderzoekers, waarbij de noemer de maximaal mogelijke variantie is.

W is geen standaard correlatiecoëfficiënt, maar is wel om te rekenen tot een r_s.: r_s = (kW - 1) / (k-1).

Bij k > 7 kan de nulhypothese dat er geen overeenstemming is tussen de onderzoekers getest worden met: χ²_(N-1) = k(N-1)W met N-1 vrijheidsgraden.