Hoe kunnen gemiddelden van behandelgroepen vergeleken worden? - Chapter 12

Dit hoofdstuk gaat verder in op de ANOVA, hoe de gemiddelden van de behandelgroepen met elkaar vergeleken kunnen worden.

Wanneer de ANOVA uitgevoerd is, en een significante F is gevonden, weten we alleen dat niet alle populatiegemiddelden gelijk zijn. De significantie vertelt ons niet welke gemiddelden van elkaar verschillen (bijvoorbeeld bij het vergelijken van cognitieve therapie, medicatie of geen behandeling – welke werkt en welke niet).

Een kanttekening hierbij is, dat onderzoekers tegenwoordig steeds minder waarde hechten aan deze omnibus F over alle groepen tegelijk. Zelfs wanneer deze F niet significant is, kan het waardevol zijn om groepen afzonderlijk met elkaar te vergelijken.

Welke soorten error rates zijn er?

Er zijn veel verschillende testen ontworpen voor het vergelijken van meerdere groepsgemiddelden, hier worden de meest gebruikte besproken. Wat de testen gemeen hebben, is dat ze ieder proberen om de kans op Type I fouten zo klein mogelijk te houden (de kans op het onjuist verwerpen van de nulhypothese). De error rate per vergelijking (PV) is de kans op het maken van een Type I fout bij deze vergelijking. De PV is afhankelijk van onze gekozen α. Als we werken met een α van .05, dan is de PV .05.

Wanneer we na een ANOVA meerdere groepsgemiddelden met elkaar gaan vergelijken, zijn we in feite bezig met een serie (of familie) van testen. De kans dat die familie van conclusies tenminste één Type I fout bevat is de familie error rate (FE). Bij een experiment waar slechts twee gemiddelden worden vergeleken, zullen PV en FE gelijk zijn aan elkaar.

Voor meerdere vergelijkingen geldt:

• PV : α = α’
• FE : α = 1 – (1 – α’)c

waar α’ de error rate voor één vergelijking is, en c het aantal vergelijkingen

Nulhypothese

We zijn nu uitgegaan van een complete, of omnibus, nulhypothese. Dat wil zeggen dat de nulhypothese is dat alle populatiegemiddelden gelijk zijn. We gebruiken echter vaker beperkte nulhypothesen, zoals µ₁ = µ₂ = µ₃, µ₄ = µ₅ en µ₆ = µ₇. FE kan niet altijd worden opgesteld zonder het patroon van populatiegemiddelden te weten.

Er werd altijd onderscheid gemaakt tussen a priori vergelijkingen (gekozen voor data verzameling) en post hoc vergelijkingen (gekozen na data verzameling). Tegenwoordig zijn er andere opties: kiezen voor een paar vergelijkingen op basis van theorie of vergelijkingen maken tussen alle mogelijke paren van gemiddelden.

De regel was altijd dat multiple comparisons alleen uitgevoerd mochten worden bij een significante F-toets. Tegenwoordig weten we dat de multiple comparisons kunnen leiden tot significante verschillen tussen gemiddelden, ook al was de algehele F-toets niet significant. De multiple comparisons mogen dus altijd uitgevoerd worden. Wat is dan nog de reden om een F-toets uit te voeren? Traditie, dus dat blijft er nog wel een tijdje in.

Een voorbeeld

In een experiment wordt gekeken hoe ratten een tolerantie ontwikkelen tegen morfine. Net als bij het eten van pittig eten geldt hierbij dat bij herhaaldelijke toediening van morfine tegen pijn, het lichaam minder reageert op het medicijn. Steeds meer morfine is nodig voordat het werkt. De ratten worden op een steeds warmer wordend oppervlak gezet, en onderzoekers tellen hoe lang het duurt voordat de rat zijn poten likt (een teken van pijn). De hypothese is, dat wanneer een rat vaker een morfine-injectie heeft gehad vóór het experiment, hij sneller weer pijn zal voelen (zo snel als een rat die geen injectie heeft gehad).

Het interessante bij morfine tolerantie is dat dieren (en mensen) vaak een tegenreactie ontwikkelen. Het lichaam is gewend geraakt aan de toevoeging van het medicijn, en heeft daardoor een grotere sensitiviteit voor pijn (maar deze wordt weggenomen door de morfine). Wanneer we dan echter een zoutoplossing (zonder werking) inspuiten, wordt deze hypersensitiviteit niet weggenomen en zal de pijngrens zeer laag zijn. De hypothese is dus dat wanneer dieren plots een zoutoplossing toegediend krijgen na een serie morfine, ze snel hun poten zullen likken.

Een derde hypothese betreft de omstandigheden van het toedienen van morfine. De hypersensitiviteit bij morfine wordt ook veroorzaakt door de setting van toedienen: als het dier weet dat hij in kooi X altijd morfine krijgt, gaat het lichaam daar onbewust op reageren. Wanneer het dier in een nieuwe setting (kooi Y) geïnjecteerd wordt met morfine, wordt deze hypersensitiviteit niet getriggerd. Het dier reageert dan als een dier dat voor het eerst met morfine wordt ingespoten.

Het experiment

In het experiment worden vijf groepen ratten onderzocht. Elke groep heeft vier trials, en we verzamelen data van de vierde trial. De groepsnamen hebben betrekking op de behandeling in de eerste drie trials, en dan de laatste trial:

1. Groep M-M: morfine in de eerste drie trials en ook in de vierde, in dezelfde setting. We verwachten morfinetolerantie en dus een normale pijnreactie
2. Groep M-S: morfine in de eerste drie trials en zoutoplossing in de laatste, zelfde setting. Door te wisselen naar zoutoplossing verwachten we een hypersensitiviteit en dus een snelle pijnreactie.
3. Groep Mc-M: morfine in de eerste drie trials in hun eigen kooi, en morfine in de laatste in een andere setting. Door de wisseling van setting wordt de hypersensitiviteit niet getriggerd -en verwachten we een late pijnreactie. Er wordt geen morfine tolerantie opgebouwd.
4. Groep S-M: zoutoplossing in de eerste drie trials en morfine in de vierde. Deze dieren hebben geen tolerantie opgebouwd en we verwachten de minste pijngevoeligheid.
5. Groep S-S: alle vier de trials zoutoplossing.

Onze hypothese is:

• S-M = Mc-M > M-M ? S-S > M-S

Deze hypothese geeft aan dat groep S-M het minst gevoelig is voor pijn, terwijl groep M-S de hoogste pijngevoeligheid heeft. Groepen Mc-M en S-M zijn gelijk, omdat de signalen in de eerste drie trials niet aanwezig zijn in de test trial. Groepen M-M en S-S staan in het midden. Of deze groepen gelijk zijn aan elkaar is afhankelijk van hoe snel morfine tolerantie ontwikkelt. Het vraagteken geeft aan dat er geen voorspelling is.

Omnibus test

Eerst testen we met een ANOVA of het experiment in zijn geheel significant was. Uit het experiment komt een significante F, wat aanduidt dat er verschillen zijn tussen de groepen. De berekende η² is .76, wat betekent dat de behandelverschillen voor 76% van de variatie in het experiment zorgen (een grote portie).

A priori vergelijken

Om twee gemiddelden te vergelijken, zijn standaard t testen een prima methode. Daarom wordt hiermee begonnen. De t test is één vorm van een a priori vergelijking tussen gemiddelden, ook wel een contrast genoemd.

Meerdere t testen

Wanneer zoals bij het voorbeeldonderzoek vooraf al vergelijkingen worden opgesteld, kunnen meerdere individuele t testen tussen de afzonderlijke groepen gedaan worden. Bij homogene varianties vervangen we de individuele varianties door MS_error en gebruiken we df_error vrijheidsgraden. Bij heterogene varianties en gelijke groepsgroottes, gebruiken we geen MS_error, maar de individuele steekproefvarianties en gebruiken we 2(n-1) vrijheidsgraden. Bij heterogene varianties en ongelijke steekproefgroottes gebruiken we de individuele varianties en de vrijheidsgraden worden aangepast met de Welch-Satterthwaite methode (zie hoofdstuk 7).

Een grote fout die soms gemaakt wordt, is het onjuist en overbodig toepassen van de t test bij meerdere vergelijkingen. Dit maakt de familie error rate enorm hoog. Maar, wanneer we bijvoorbeeld slechts twee vergelijkingen maken, is de t test een goede methode. In het geval van het voorbeeld zouden we de hypothese kunnen testen dat een verandering van testomgeving de tolerantie tegen morfine tegengaat (en dus dat Mc-M minder pijn ervaart dan M-M). De algemene formule voor t, waarbij de individuele varianties vervangen zijn door MS_error:

\[t=\frac{\bar{X_i}-\bar{X_j}}{\sqrt{\frac{2MS_{error}}{n}}}\]

In ons voorbeeld dat Mc-M minder pijn ervaart dan M-M zou dit leiden tot een t-waarde van 6,72. Deze waarde is groter dan t_.025(35) = 2,03 en dus wordt de nulhypothese verworpen. Het veranderen van de setting waarin morfine gegeven wordt vermindert dus de morfine tolerantie.

Lineair contrast

De individuele t test is onderdeel van een overkoepelende techniek, die gebruikt maakt van lineaire contrasten. Waar de t test één groep met een andere groep vergelijkt, kunnen we bij lineaire contrasten één of meerdere groepen met elkaar vergelijken.

In een lineair contrast maken we gebruik van een lineaire combinatie. De lineaire combinatie is een gewogen som van behandelgemiddelden:

\[L=a_1\bar{X}+a_2\bar{X}+...+a_k\bar{X_k}=\sum{a\bar{X}}\]

Wanneer alle aj’s gelijk zijn aan 1, is L de som van de gemiddelden. Wanneer alle aj’s gelijk zijn aan 1/k, is L het gemiddelde van de gemiddelden.

Bij een lineair contrast is ∑aj = 0. Dit kan bijvoorbeeld gebruikt worden om gemiddelden te vergelijken of het gemiddelde van één conditie met het gecombineerde gemiddelde van meerdere andere condities. Een voorbeeld: a1 = 1, a2 = -1 en a3 = 0

\[\Psi=(1)\bar{X_1}+(-1)\bar{X_2}+(0)\bar{X_1}-\bar{X_2}\]

Stel dat we drie condities hebben, en het gemiddelde van condities 1 en 2 met conditie 3 willen vergelijken. Daarbij zijn a1= ½, a2= ½, a3= -1. Met de gemiddelden van de condities ingevoerd in de formule, krijgen we ψ:

\[\Psi=(\frac{1}{2})X_1+(\frac{1}{2})X_2+(-1)X_3=\frac{X_1+X_2}{2-X_3}\]

Sum of squares

Met ψ kunnen we vervolgens heel makkelijk de sums of squares berekenen:

\[SS_{contrast}=\frac{n\Psi^2}{\sum{a^2_j}}=\frac{n(\sum{aX_{jj}})^2}{\sum{a^2_j}}\]

Dit is een component van SSbehandeling met 1 vrijheidsgraad.

Verder geldt, dat bij een bepaald aantal contrasten we voor de totale sums of squares in de behandeling zorgen:

• SS_behandeling = SS_contrast1 + SS_contrast2 + …

Bij bovenstaande is SSbehandeling volledig gepartitioneerd (verdeeld).

De keuze voor a

Bij het kiezen van coëfficiënt a is het vaak het makkelijkst om de groepen binnen elke vergelijkingsgroep in gewicht te verdelen. Bijvoorbeeld bij het vergelijken van zeven condities, waarbij we de eerste vier met de laatste drie willen vergelijken. De eerste vergelijkingsgroep heeft vier condities, dus voor X1 tot en met X4 geldt aj = 1/4. De tweede vergelijkingsgroep heeft drie gemiddelden, dus geldt voor elk gemiddelde aj = 1/3. We maken de tweede groep negatief, zodat ∑aj = 0.

\[\sum{\bar{X}a_{jj}}=\frac{1}{4}(\bar{X_1}+\bar{X_2}+\bar{X_3}+\bar{X_4})-\frac{1}{3}(\bar{X_5}+\bar{X_6}+\bar{X_7})\]

Significantie

Omdat we bij lineaire contrasten altijd twee groepen vergelijken, is het aantal vrijheidsgraden altijd één. Hierdoor kunnen we de SS direct omzetten in MS, en delen door MSerror om de significantie F te berekenen.

\[F=\frac{MS_{contrast}}{MS_{error}}=\frac{(\frac{n\Psi^2}{\sum{a^2_j}})}{MS_{error}}=\frac{n\Psi^2}{\sum{a^2_j}MS_{error}}\]

F heeft dan één vrijheidsgraad.

Bij het berekenen van F moet rekening gehouden worden met de familie error rate. Bij elke vergelijking die gemaakt wordt, neemt deze error rate toe. Bij vier contrasten, zoals in het voorbeeldonderzoek, nadert FE de .20 als alle nulhypotheses waar zijn. Er zijn verschillende manieren om de error rate te verlagen:

• Elke vergelijking met een strengere α onderzoeken (zoals α = .01).
• Minder contrasten maken: als een contrast eigenlijk niet interessant is, maak het dan niet.
• Bonferroni t (Dunn’s test). De test is gebaseerd op het feit dat de kans op één of meer gebeurtenissen nooit hoger is dan de kans op de som van de individuele kansen. Als er drie vergelijkingen gemaakt worden, elk met een α = .05, is de totale kans op een type I fout dus hooguit .15. Deze test komt erop neer dat we elk contrast testen tegen een kleinere α, waardoor de FE alsnog op slechts .05 uitkomt. Bij vier contrasten bijvoorbeeld test je elk contrast tegen α = .05/4 = 0.125. De test is alleen geschikt bij een beperkt aantal a priori vergelijkingen, en niet bij post hoc toetsen, aangezien dan alle mogelijke vergelijkingen genomen worden, ook al zijn deze wellicht niet interessant.

Orthogonale contrasten

Orthogonale contrasten zijn contrasten die onafhankelijk zijn van elkaar. Dit houdt in, dat we tussen de vergelijkingsgroepen of sets geen uitspraken kunnen doen over hun verhoudingen. Dus, wanneer we weten dat X1 groter is dan het gemiddelde van X2 en X3, dan weten we nog niet of X4 groter is dan X5. Hadden we echter nog een contrast gehad tussen X1 en X2, dan zouden we kunnen gokken dat X1 waarschijnlijk groter is dan X2. Deze laatste contrasten zijn dan niet onafhankelijk van elkaar.

Bij orthogonale, onafhankelijke contrasten geldt, dat de SS’s van alle contrasten samen opgeteld SSbehandeling maken.

Gegeven dat de steekproeven even groot zijn, zijn er drie criteria waaraan voldaan moet worden om orthogonale contrasten te zijn:

1. ∑aj = 0
2. ∑ajbj = 0 (a en b zijn coëfficiënten van verschillende contrasten)
3. Het aantal vergelijkingen is gelijk aan het aantal vrijheidsgraden voor behandelingen. Dan is de som van SS_contrast gelijk aan SS_behandeling

Getrimde gemiddelden

In sommige gevallen zal een distributie lange staarten hebben, en willen we gemiddelden vergelijken van getrimde datasets. Wilcox raadt een inkorting van 20% aan. Dit leidt tot een vermindering in steekproefgrootte, maar tot verhoging van power. Stel dat we 50 observaties hebben, dan korten we (.20)(50) = 10 observaties aan elke kant van de staart in. Als getrimde gemiddelde gebruiken we het gemiddelde van de resterende 30 scores. Voor de variantie gebruiken we een Winsorized steekproef waarbij we de laagste 10 scores vervangen door de 11e laagste score, en hetzelfde voor de andere kant. De formule voor de variantie is, als s²_Wi de variantie van de Winsorized steekproef is:

\[s^2_W=\frac{(n_j-1)s^2_{W_i}}{h_j(h_j-1)}\]

• met n het totaal aantal scores en h de getrimde scores

De t test formule is vervolgens weer als vanouds:

\[t_W=\frac{\bar{Y_{t_i}}-\bar{Y_{t_j}}}{\sqrt{s^2_{W_\bar{X_i}}+s^2_{W_\bar{X_j}}}}\]

met vrijheidsgraden:

\[df_w=\frac{(s^2_{W_\bar{X_i}}+s^2_{W_\bar{X_j}})^2}{s^2_{W_\bar{X_i}}(h_i-1)+s^2_{W_\bar{X_j}}(h_j-1)}\]

Welke betrouwbaarheidsintervallen worden gebruikt?

Bij het berekenen van de totale F (over de gehele studie), gebruiken we betrouwbaarheidsintervallen met een r-familie statistiek zoals η². Bij het vergelijken van individuele gemiddelden gebruiken we de d –familie. Het handigste is om uit te gaan van lineaire contrasten, omdat we daarbij groepen gemiddelden kunnen vergelijken. In dat geval berekenen we de F van het contrast en nemen daar de wortel van.

Voor het betrouwbaarheidsinterval geldt, waar ψ de waarde is van het contrast:

• CI_.95 = (Ψ_j) ± t_.025s_error

Hoe bereken je de effectgrootte?

Het berekenen van de effectgrootte gaat in feite zoals bij een t test, maar dan in andere notatie. We weten dat ψ het contrast is tussen twee gemiddelden, oftewel het verschil in gemiddelden. Dit kan dus de teller vervangen in de formule voor de effectgrootte:

\[\hat{d}=\frac{\Psi}{s_e}=\frac{\sum{a\bar{X_i}}}{s_e}\]

• waar s_e een schatting is van de within groups standaarddeviatie

Voor s_e wordt meestal de wortel genomen uit MS_error. Andere manieren zijn: de wortel van de gemiddelde variantie of gebruik van de standaarddeviatie van de controlegroep.

De effectgrootte d zal uiteindelijk aangeven hoeveel standaarddeviaties het verschil is tussen de gemiddelden.

Wanneer worden Post Hoc vergelijkingen gebruikt?

De post hoc benadering heeft de voorkeur wanneer er veel hypotheses zijn in een experiment, of wanneer hypotheses pas vorm krijgen nadat de data bekeken is. Post hoc technieken die vaak gebruikt worden, staan hieronder.

Fisher’s Least Significant Difference (LSD) procedure

Fisher’s LSD is een van de oudste methoden. Hij is vooral geschikt bij een beperkt aantal (tot en met drie) gemiddelden die worden vergeleken. De procedure is simpelweg het vergelijken van gemiddelden door middel van de t test. Het verschil tussen een post hoc LSD en a priori t test, is dat de eerste een significante omnibus F vereist. Dit beschermt de FE, maar alleen als de complete nulhypothese juist niet.

Studentized Range (q)

Veel van de post hoc testen zijn gebaseerd op deze statistiek q. De formule ervoor is:

\[q_r=\frac{\bar{X_l}-\bar{X_s}}{\sqrt{\frac{MS_{error}}{n}}}\]

• waarbij X_l en X_s het grootste en kleinste gemiddelde zijn en r is het aantal behandelingen in de set.

De formule voor q (bij r gemiddelden en n scores per condities) lijkt erg op de formule voor t, behalve dat t een √2 in de noemer heeft:

\[t=\frac{\bar{X_i}-\bar{X_j}}{\sqrt{\frac{2MS_{error}}{n}}}\]

De q is dus een lineaire functie van t. Van t kan je dus altijd naar q: t = √2. De q is echter speciaal ontworpen voor wanneer we met voorbedachten rade twee gemiddelden (de grootste en de kleinste) uit een set gemiddelden kiezen (bij t kiezen we willekeurig). De statistiek q heeft een eigen appendix (Howell, 2013: 699) met kritieke waarden voor elke r.

Wat houdt Tukey’s test in?

De Tukey’s test is een belangrijke test voor het vergelijken van gemiddelden, die gebruikmaakt van de q. Door dit gebruik van q krijgen we meer controle over de α, wat het een favoriete test maakt bij veel mensen.

Bij Tukey ordenen we eerst de gemiddelden van elke conditie naar grootte. Elke paarsgewijze vergelijking wordt vervolgens getest bij de maximale r (elk paar gemiddelden wordt getest alsof ze dus maximaal uit elkaar liggen). Wanneer we de kritieke waarde van q weten (waarbij dus de nulhypothese wordt verworpen), kunnen we deze in de formule invullen, samen met MSerror en n, en berekenen wat het minimale verschil is tussen twee gemiddelden om significant te zijn:

\[q=\sqrt{\frac{MS_{error}}{n}}=X_i-\bar{X_j}\]

Stel, we hebben vijf condities met de gemiddelden 4, 10, 11, 24 en 29. Bij r = 5 en 35 df hoort een kritieke q van 4.07. MSerrorhebben we berekend op 32.00. We herschrijven de formule tot:

\[4,07\sqrt{\frac{MS_{error}}{n}}= 8,14\]

Wanneer het verschil tussen gemiddelden groter is dan 8.14, is de q test significant. Van de bovenstaande gemiddelden weten we dan:

(gem. 1 = gem. 2 = gem. 3) ≠ (gem. 4 = gem. 5) waarbij het ‘is gelijk’ teken betekent dat we de nulhypothese van gelijkheid niet konden verwerpen, niet dat we bewezen hebben dat ze gelijk zijn.

Een kanttekening bij Tukey’s test is, dat de condities even groot moeten zijn, anders moet voor ongelijke steekproefgroottes gecorrigeerd worden met een aangepaste formule.

Benjamini-Hochberg test

Benjamini en Hochberg hebben een test bedacht die sequentieel is en niet gebaseerd op FE, maar op False Discovery Rate (FDR). FE geeft de kans op één of meer type I fouten en doet net alsof alle conclusies fout zijn, wanneer er maar één type I fout gemaakt wordt. FDR benadert het anders: ‘welk percentage van de significante resultaten is een foute ontdekking?’

• FDR = aantal onjuiste verwerpingen / aantal totale verwerpingen

Welke test kies je wanneer?

Wanneer je je test van tevoren plant en slechts één vergelijking interessant vindt, dan kies je meestal de standaard t test. Wanneer het een complexe vergelijking is, kies je een lineair contrast. Met meerdere contrasten is de Bonferroni t het beste.

Bij een groot aantal groepen en veel vergelijkingen is Tukey’s test aan te raden. De Benjamini-Hocberg test kan gebruikt worden als men het niet erg vindt dat er af en toe een type I fout tussen zit, zodat er meer power is voor de andere contrasten.

Hoe werkt trendanalyse?

Het voorgaande stuk hield zich bezig met het vergelijken van gemiddelden van verschillende condities. Maar wat als de condities een bepaald verband met elkaar hebben? Bijvoorbeeld wanneer we geïnteresseerd zijn in de effecten van een bepaalde dosis aspirine per dag, op het voorkomen van hartfalen. We willen weten of meer aspirine meer effect heeft: we zijn geïnteresseerd in een trend.

Een trend heeft verschillende vormen. Ten eerste kan er een lineaire trend zijn, waarbij meer van het medicijn leidt tot een beter effect (een rechte lijn). Ten tweede kan er een kwadratische trend zijn, waarbij het effect van de dosering toeneemt tot een bepaald hoogste punt, en daarna afvlakt of zelfs het effect weer afneemt (een boog). Ten slotte is ook een combinatie mogelijk van lineair en kwadratisch.

Voorbeeld

Als voorbeeld nemen we weer de studie van het verband tussen alcohol en agressie uit het vorige hoofdstuk. De participanten moeten hierbij een afleidende taak doen, waarbij wordt gemeten in hoeverre dit hun agressie onderdrukt. Het idee is hierbij dat wellicht te veel afleiding weer kan leiden tot frustratie en dus agressie (mogelijk een kwadratisch verband). Een one-way ANOVA gaf een significante F van 6.90, dus er zijn significante verschillen tussen de vijf condities. De volgende vraag is of de variantie in de data door een lineaire of kwadratische functie verklaard kan worden.

Voor een trendanalyse maken we weer gebruik van de lineaire contrasten. Het verschil is, dat we hier andere coëfficiënten gebruiken in de formule voor ψ. Welke coëfficiënten we moeten gebruiken, staat in de Appendix Polynomiaal (Howell, 2013: 697; zie hieronder). Nog steeds moet gelden dat ∑aj = 0 en ∑ajbj = 0

Uit de formule voor ψ vinden we een contrast van 0.0425. Hiermee kunnen we de SSlineair berekenen:

\[SS_{lineair}=\frac{n\Psi^2}{\sum{a^2_j}}=0.002\]

En F vinden we met de formule waarbij SS_lineair = MS_lineair vanwege 1 df.

• F = 0.009, bij 1 en 55 df. Uit de appendix F is de kritieke waarde F.₀₅(1,55) = 4.015. Onze gevonden waarde voor F is veel kleiner, en dus behouden we H_0: er is geen lineaire trend tussen onze gemiddelden.

Vanuit een boxplot kunnen we echter afleiden dat er wellicht sprake is van een kwadratische trend in de data. Wat we allereerst controleren, is of er de residuele variantie na het toevoegen van de lineaire component significant groter is dan de error variantie, waarvan we weten dat het aanwezig is.

• SSresidu = SSbehandeling - SSlineair
• = 62.460 – 0.002
• = 62.458
• dfresidu = dfbehandeling - dflineair
• = 4 - 1 = 3
• MSresidu = SSresidu / dfresidu= 20.82
• Fresidu = MSresidu/ MSerror = 9.20

Omdat onze Fresidu groter is dan de kritieke waarde voor F(3,55), verwerpen we de nulhypothese en stellen dat er genoeg variantie over is om te verklaren. Nu kunnen we de kwadratische component berekenen, hetzelfde als bij de lineaire alleen met andere coëfficiënten. F = 24.17. Deze F is wel significant: er is een kwadratische trend in onze data.

Ongelijke intervallen

Een trendanalyse zoals hierboven is gemakkelijk te doen, maar alleen wanneer de intervallen van de onafhankelijke variabele (zoals de afleiding) gelijk zijn. Wanneer de intervallen ongelijk zijn, kunnen we de coëfficiënten niet uit de Appendix Polynomiaal halen, maar moeten we ze zelf berekenen. Hier wordt verder niet op ingegaan.