Bijlage betreft een zeer handige afbeelding uit het boek. 

Hoofdstuk 5

In hoofdstuk 2 hebben we gezien dat het volgroeien van het brein de verbeteringen in het werkgeheugen kan verklaren. Hoe verklaren we het toenemen van wiskundige kennis. Deze informatie is voornamelijk afkomstig uit casestudies. Zoals die van Daniel Tammet. Een jongen met Asperger met een zeer goed gevoel voor getallen. Hij associeert elk getal tot 10.000 met een visueel beeld of gevoel, ook deel- en vermenigvuldigsommen. Hij kan het antwoord geven tot in honderd decimalen precies. De meeste mensen zien niet zoals Daniël alles zo visueel of met gevoel, maar zien wel een getallenlijn. Psychologische studies tonen aan dat dit iets zegt over hoe de hersenen nummers representeert met behulp van een visueel, ruimtelijk beeld.

Een van deze studies liet proefpersonen op een knop drukken wanneer het nummer (1-9) minder was (linker knop) dan 5 en met de andere hand als het meer was dan 5 (rechter knop). Het is een algemeen bekend fenomeen dat mensen sneller reageren op beelden in het linker visuele gebied met de linkerhand, en de idem dito voor rechts. Door dat wat in links gezien wordt, naar het rechter hersendeel gaat en rechts stuurt weer de linkerhand aan. Toch bleek dat ook wanneer het getal in het midden werd laten zien, de respondenten alsnog sneller op links waren bij lage getallen en sneller op rechts bij hogere getallen. De respondenten reageerde alsof de getallen alsnog rechts op links werden laten zien. Dit zou aan kunnen tonen dat we inderdaad getallen in ons hoofd op een getallenlijn zetten, waardoor de lagere getallen inderdaad links zijn.

Verder blijkt dat de tijd die mensen nodig hebben om te reageren ook afhangt van hoe groot het verschil is. Mens reageert minder snel op 8 is lager dan 9, dan op 5 is lager dan 9. Terwijl een computer dit altijd in hetzelfde tempo zal doen. Ook dit zou te maken hebben met de mentale getallenlijn.

Babies en tellen

De mens heeft een natuurlijke neiging om getallen op een denkbeeldige lijn te zien, dat zou betekenen dat je dit kinderen niet hoeft te leren. Maar dat is niet het geval. We leren kinderen wel in theorie boeken om getalbegrip te trainen (ordenen van groot naar klein bijv). Veel wiskunde onderwijs is geïnspireerd door de geschriften van Jean Piaget.

Piaget was oorspronkelijk bioloog, maar had grote interesse in de psychologie. In de eerste helft van 1900 gebruikte hij zijn bevindingen om een theorie te ontwikkelen over de stadia van ontwikkeling van het kind.

Elke fase wordt gekenmerkt door een specifieke bekwaamheid en opvatting van de buitenwereld. Door voortdurende aanpassing van deze opvatting door dat kinderen interactie hebben met deze buitenwereld komen kinderen van stadium naar stadium. Piaget stelde dat kinderen nummers en hun betekenis niet begrijpen tot ±7jr. Maar dit blijkt niet waar.

Conservatie: begrip dat de hoeveelheid van een (aantal) object(en) niet verandert als de ruimtelijke ordening wel verandert. In het onderzoek plaatste de experimentator zes glazen en zes flessen op gelijke afstand van elkaar en vroeg: “zijn er evenveel flessen als glazen?”, kind antwoord van wel. Wanneer de tussenruimte tussen bijvoorbeeld de glazen groter werd gemaakt (de rij wordt dus langer), geeft het kind aan dat er meer glazen zijn.
Pas vanaf 7jr geven kinderen aan dat de rijen hetzelfde zijn – er is getalbegrip, aldus Piaget. Dit onderzoek is min of meer ontkracht door Mehler en Bever, die 2-jarigen dezelfde test lieten doen, maar dan met snoepjes. De rij van 8 snoepjes was korter gemaakt als die van 6, toch kozen ze voor 8. Ze zien het dus wel! Wellicht denkt een kind van 5 bij het experiment van Piaget wel dat er meer achter de vraag moet zijn; omdat het ‘zo een domme vraag is’.

Uit studies is gebleken dat zelfs baby’s al een getal besef hebben t/m drie. Een van deze studies was bijvoorbeeld met het gebruik van een poppenkast voor baby’s van 5mnd oud. Hierbij liet men twee poppen om de beurt achter een scherm verdwijnen, waarna ze het scherm weghaalde en 1, 2 of 3 poppen erachter lieten zien. Bij de 1 en 3 poppen keken de baby’s langer dan bij de meer logische uitkomst van 2.

Getallen en werkgeheugen

De relatie tussen getallen/tellen en het werkgeheugen is in sommige gevallen overduidelijk. Zo bleek uit de studie met de Nynäshamn kinderen (H1) dat de capaciteit van het werkgeheugen sterk correleert met de prestaties op een wiskunde test. Bijna de helft van het verschil tussen individuen was toe te schrijven aan de verschillen in het werkgeheugen. Het visueel spatieel werkgeheugen bepaalde ook hoe wiskundige prestaties van kinderen veranderde over de tijd. Zo een correlatie werd er niet gevonden tussen het lange termijn geheugen en wiskundige skills.

In een studie in York, door Gathercole werden kinderen die meer dan 2 standaarddeviaties onder het gemiddelde scoorde op wiskundige testen vergeleken met de kinderen die geen wiskundige problemen lieten zien. Gathercole zag duidelijk een probleem met het werkgeheugen bij de kinderen met slechte wiskundige vaardigheden. Het probleem toonde zich in zowel visueel spatieel werkgeheugen als in het verbale werkgeheugen maar niet in het verbale kortetermijngeheugen (het onthouden van een code tot we die hebben ingevoerd bijvoorbeeld).

Het visueel spatieel werkgeheugen is nauw verwant aan redenen en ‘fluid intelligence’ (de mate van flexibiliteit in denken en het vermogen tot abstract redeneren). Een alternatieve verklaring voor de link tussen werkgeheugen en wiskunde zou zijn dat intelligentie invloed heeft op een heleboel factoren. Toch zijn er veel onderzoekers die werkgeheugen als sterkere voorspeller van wiskundige ontwikkeling zien dan fluid intelligence.

Deze sterke relatie tussen wiskunde en werkgeheugen kan door verschillende theorieën verklaard worden.

• Het werkgeheugen kan nodig zijn om de tussenliggende stadia van een berekening vast te houden. (bij 6x13 doe je eerst 6x10 en dan 6x3 en dit tel je bij elkaar. Dan moet je wel de tussenoplossingen onthouden)
• De mentale liniaal die gebruikt wordt bij rekenen wordt door het visueel spatiele werkgeheugen gevisualiseerd. Om dit zeker te weten moet meer ingezoomd worden op de precieze hersengebieden die spelen bij wiskundige activiteiten.

Waar in de hersenen?

In “The number Sense’ van Stanislas Dehaene wordt een patiënt beschreven, M., die door na een beroerte een probleem had met de ‘visuele getallenlijn’. Hij kon geen getal opnoemen tussen de 10 en 20 (dan zei hij 30), of tussen 3 en 5 (dan zei hij 2). Wel kon hij tafels opdreunen, (drie keer drie is negen), maar dat leek feitelijke kennis te zijn uit zijn langetermijngeheugen. Dit gold ook voor enkele rekenkundige sommen onder de 10. Uit een scan (MR) bleek dat zijn beroerte een grote laesie in de pariëtale kwab had veroorzaakt. Kennelijk zit hier dus zijn onvermogen tot cijfers. Pariëtale kwab is echter heel groot, en nauwkeurig lokaliseren welk gebied precies verantwoordelijk is voor het getalbegrip is lastig.

Het gebied van de intrapartiële cortex is interessant, verschillende studies hebben aangetoond dat dit wordt geactiveerd wanneer met het visueel spatieel geheugen gebruikt. In het brein zijn verschillende onderdelen verantwoordelijk voor verschillende taken, zo zijn er zenuwcellen die de positie onthouden (waar) en die het object onthouden (wat). Getallen blijken weergegeven in analoge vorm, met de lage getallen links en de hogere rechts; alsof het een mentale getallenlijn is. In culturen waar men van rechts naar links leest lijkt het andersom te zijn.

Hoeveel we kunnen onthouden in ons werkgeheugen verschillen de meningen over. Als kind zou dit maximaal vier zijn, als volwassenen kunnen we dit door herhaling te gebruiken rekken tot 7. De grens van vier telt ook voor wat we kunnen zien zonder te tellen, we zien in één keer dat er drie vogels vliegen, zonder te hoeven tellen. Na “4” verminderd de reactietijd.

De getallenlijn en hierdoor bestaande mogelijkheid om op te tellen/af te trekken/vergelijken etc. Maar er is meer in wiskunde dan alleen dit en niet alleen de intrapartiële cortex is dan van belang. Een deel van de wiskundige kennis ligt bijvoorbeeld in het langetermijngeheugen. Zoals de tafels, deze liggen meer (net als woorden) in het onderste deel van de partiëtale cortex en frontale kwab. Figuur 5.1 geeft een overzicht van het aantal meest kritieke gebieden die in wiskundig redeneren worden gebruik (zie bijlage).

• Schade aan de visuele gebieden van de occipitale kwab zouden leiden tot onvermogen cijfers te lezen, maar gehoord kunnen berekeningen nog wel opgelost worden.
• Schade aan de paden tussen de occipitale kwab en prefrontale cortex zouden leiden tot problemen met het articuleren van getallen – net als leesproblemen. Maar zou geen probleem geven in het berekenen.
• Schade aan de inferieure pariëtale cortex zou problemen geven met het onthouden van de tafels, maar niet met berekeningen.
• Schade aan de intrapartëtale cortex zouden problemen geven met het vergelijken en berekeningen maken met cijfers, maar heeft geen invloed op informatie uit het lange termijn geheugen.

Met schade wordt een vernietiging van een bepaalde hersenstructuur bedoeld zoals bijv. na een beroerte. Maar de functie + gebied gelden ook voor normale variatie.

We weten weinig over de invloed van genen op de ontwikkeling van de hersenen. Maar uit tweelingstudies blijkt dat het wel erfelijk is om in een bepaald hersengebied een bovengemiddeld aantal verbindingen of neuronen te hebben.

Geslacht en wiskunde

Verschillende grote studies rapporteren een verschil in geslacht als het gaat om wiskundige berekeningen. Uit een grootschalig onderzoek van Stanley en Hopkins (10.000 respondenten) blijkt dat jongens in de leeftijd 13-14jr ongeveer een halve standaarddeviatie (dat wil zeggen 8%) beter zijn dan hun vrouwelijke leeftijdsgenoten. Dat is best een groot verschil. Latere studies tonen echter aan dat het iets complexer zat. Een studie onder 250.000 kinderen van over de hele wereld waarbij gemeten werd op meetkunde, algebra, rekenen en schatten, liet hetzelfde zien maar wel een veel kleiner verschil tussen de jongens en meisjes. Slechts 1.5%. Er bleek ook een groot verschil te zitten in de nationaliteiten. In IJsland overtroffen de meisjes zelfs de jongens, terwijl in Turkije het verschil twee keer zo groot was als in de VS.

Om culturele verschillen die deze variatie kunnen verklaren te onderzoeken werdt een Gender Gap Index gebruikt. Een geaccepteerde maat voor het meten van sekseverschillen in de maatschappij. Hierbij worden factoren gemeten als; hoe goed worden vrouwen in het bedrijfsleven vertegenwoordigd/in het onderwijs etc. Dit bleek sterk samen te hangen met de gevonden verschillen op wiskundig vlak.

Dit kan deels verklaard worden door bepaalde stress en selffulfilling prohpecy’s die er heersen in een land waar vrouwen minder vertegenwoordigd zijn.

Bestaat dyscalculie?

Wanneer de verwerking van getallen niet loopt zoals normaal kan een ontwikkelingsstoornis als dyscalculie worden vastgesteld. De definitie: een neurologische aandoening die invloed heeft op de normale verwerving van rekenvaardigheden, ondanks een normale intelligentie, emotionele stabiliteit, educatieve kansen en motivatie.
Er moet 1.5 standaarddeviatie onder ‘normaal’ gescoord worden obv een normaal IQ. Hiermee komt 3-6% van de kinderen, evenveel jongens als meisjes, in aanmerking voor deze diagnose.

Veel mensen zijn sceptisch over het gebruik van quasi-medische termen. Sommigen vinden zelfs dat de term dyscalculie overbodig is en gewoon een subcategorie moet zijn van dyslexie. Veel kinderen met dyscalculie hebben ook dyslexie. Maar er zijn studies die uitwijzen dat deze ook los van elkaar vorkomen. Kinderen met dyscalculie hebben vooral moeite met het visueel-spatiele werkgeheugen en niet het fonologische kortetermijngeheugen.

Dyscalculie is grotendeels erfelijk. Tweelingstudies tonen aan dat maar liefst 60-70% van de rekenproblemen bij 7-9 jarigen genetisch geconditioneerd zijn. Slechts 10% is weg te schrijven aan de omgeving.

Naast erfelijkheid zijn er nog andere risicogroepen, zoals mensen met epilepsie, Turner’s syndroom, fragiele X-syndroom en extreem premature geboorte. Uit onderzoek blijkt dat extreem premature geboorte kan leiden tot dunnere lagen grijze stof in de intra-parietale cortex – het zogenaamde kritieke gebied als het gaat om wiskundige vaardigheden.

Training

Deze nieuwe kennis over dyscalculie kan meegenomen worden in nieuwe lesmethoden. Een voorbeeld hiervan is ‘The number Race’. Dit is een geautomatiseerd trainingsprogramma wat gratis gedownload kan worden en waarbij door middel van het oplossen van numerieke vergelijkingen de intra-partiëtale cortex wordt geactiveerd en de ‘mentale getallenlijn’, welke zo belangrijk is voor wiskundige vergelijking. Uit pilotstudies is het effect gebleken.

Voor preschoolers is het programma “Number World”. Wat zich meer richt op kleuters en op lijnen, thermometers en bordspellen in plaats van de weergave van getallen. Ook hier zijn goede resultaten van gevonden.