1. Introductie modelleren

Rekenkundig model

Een rekenkundig model is een kwantitatieve representatie of idealisatie van een reëel probleem. Deze representatie kan verwoord worden in termen van rekenkundige expressies (zoals vergelijkingen en ongelijkheden) of als een serie van onderling gerelateerde cellen in een werkblad.

Verschil tussen beschrijvende modellen en optimalisatiemodellen

Beschrijvende modellen zijn die alleen de situatie omschrijven. Optimalisatie modellen zijn daarentegen alle modellen die een wenselijk verband of actie suggereren noemen we optimalisatiemodellen.

Queueing

Een wachtrijprobleem noemen we ook wel een queueing. In hoofdstuk 13 wordt hier verder op ingegaan.

Verschil tussen modelleren en modellen

Dit boek richt zich in het bijzonder op modelleren en niet modellen. Dit is omdat modelleren een proces beschrijft waarin je de essentie van een reële probleem abstract maakt in bijvoorbeeld een model of in een werkblad.

De zeven stappen van het modelleringproces

Modelleren kan gekarakteriseerd worden als een proces dat verloopt in zeven stappen. Deze zeven stappen zijn:

• definiëren van het probleem

• verzamelen van data

• ontwikkelen van een model

• verificatie van het model

• optimalisatie en besluitvorming

• communicatie van model naar management

• implementatie van model

Ogenschijnlijk is de eerste stap een eenvoudige stap, maar de definitie van het probleem is lang niet altijd eenvoudig. Vaststellen wat het exacte probleem is van noodzakelijk belang om het probleem daadwerkelijk op te kunnen lossen.

De tweede stap, verzamelen van data, neemt doorgaans de meeste tijd in beslag. De derde en de vijfde stap (de ontwikkeling van het model en de optimalisatie en besluitvorming) worden in dit boek het meest behandeld.

De meest bruikbare modellen zijn die modellen die de essentie van het probleem weten weer te geven zonder te verzanden in minder belangrijke details. Een model moet dan ook zo eenvoudig mogelijk zijn. De grootste uitdaging in de derde stap is dan ook het vinden van de juiste balans tussen een te eenvoudig model en een te complex model.

Heuristiek

Een oplossingsmethode dat doorgaans wordt gezien als een relatief simpel model dat goede maar niet altijd optimale oplossingen biedt, is de heuristische methode. Een heuristiek is vooral gebaseerd op gezond verstand, intuïtie en proberen.

Belang van modelleren

Volgens de schrijvers van het boek is de werkbladbenadering de beste manier om een model te ontwikkelen omdat deze benadering een beroep doet op het grote publiek. Dat modeleren binnen de managementwetenschap van belang is, daarvan zijn de schrijvers overtuigd. Ze geven daarvoor vier redenen:

• Het geeft de mogelijk om over een probleem in het algemeen na te denken en dwingt tot logisch denken.

• Het helpt bij het ontwikkelen van iemands kwantitatieve vaardigheden omdat het primair gaat over nummers en de onderlinge relaties van nummers.

• Werken met werkbladen is mogelijk voor iedereen en niet alleen voor technische mensen.

• Het helpt bij het ontwikkelen van de intuïtie en het geeft een indicatie wanneer intuïtie alleen soms te wensen overlaat.

Belangrijke software

De schrijvers van dit boek werken voornamelijk met Excel. Daarnaast noemen ze nog enkele andere softwareprogramma’s waar ze mee werken en die in dit boek aan de orde komen:

1. Solver Add-in

2. SolverTable Add-in

3. Palisade Decision Tools Suite

4. @RISK

5. StatTools

6. PrecisionTree

7. TopRank

8. RISKOptimizer

9. NeuralTools

10. Evolver

2. Introductie werkbladmodelleren

De meeste rekenkundige modellen (waaronder ook de werkbladmodellen) gaan over input, besluitvariabelen en output. De input bestaat uit vaste waarden (ten minste voor het model). De besluitvariabelen worden vastgesteld door de besluitvormer en de output omvat de uiteindelijk waarden die van belang zijn.

Proces van werkbladmodelleren

Werkbladmodelleren is het proces van het invoeren van inputs en besluitvariabelen in een werkblad (bijvoorbeeld in Excel) en deze dan door middel van formules correct relateren aan de outputs.

Omdat maar weinig mensen een model ontwikkelen voor zichzelf, is het van groot belang dat een model goed leesbaar is voor een ander. Een aantal functies die de leesbaarheid van een model vergroten zijn:

• een duidelijke, logische lay-out van het hele model

• scheiding van verschillende delen van het mode, indien mogelijk tussen verschillende werkbladen

• duidelijke koppen voor verschillende secties van het model en alle inputs, besluitvariabelen en outputs

• gebruikt te maken van de rangenamen

• gebruik maken van opmaakmogelijkheden zoals vetgedrukt, cursief, onderstreept en van verschillende kleuren

• aannames en verklaringen te plaatsen in een tekstveld.

Voorbeelden om mee te oefenen

Voorbeeld 2.1 laat zien hoe een basismodel in Excel werkt. Om te oefenen met kostenprojecties, kijk dan naar voorbeeld 2.2. Voor een voorbeeld om te oefenen met break-evenanalyses: voorbeeld 2.3. Voorbeeld 2.4 geeft weer hoe om te gaan met een ordering met kwantiteitskortingen en vraagonzekerheden. Het schatten van de verhouding tussen prijs en aanbod wordt behandeld in voorbeeld 2.5. Er worden enkele voorbeelden gegeven van beslissingen met betrekking tot de tijdwaarde van geld in 2.7.

Belangrijke termen

In dit hoofdstuk komen in de gegeven voorbeelden een aantal termen ter sprake die betrekking hebben op managementwetenschappen. De belangrijksten (in het Engels) zijn:

• Model inputs: de numerieke waarden die worden gegeven in een probleemstelling.

• Decision variables: de variabelen waarover een besluitvormer controle heeft om betere oplossingen te krijgen.

• Model outputs: de numerieke waarden die resulteren uit combinaties van inputs en beslissingsvariabelen door het gebruik van logische formules.

• Net present value (NPV): de huidige waarde van een stroom van kasstromen die zich voordoen in de toekomst.

• Discount rate: het rentepercentage voor de verdiscontering van de toekomstige kasstromen om naar de netto contante waarde te krijgen.

Daarnaast komen een aantal termen en begrippen ter sprake die betrekking hebben op Excel. De belangrijksten (in het Engels) zijn:

• IF function: handig voor de uitvoering van logica.

• Relative, absolute cell addresses: handig voor het kopiëren van formules (de absolute rij of kolom blijft vast en de relatieve rij of kolom 'beweegt”).

• Range names: handig om formules meer betekenis te geven.

• Pasting range names: geeft een lijst van alle ‘range names’ in het huidige werkboek.

• Cell comments: handig voor het documenteren van de celinhoud.

• One-way data table: laat zien hoe één of meerdere outputs varieren wanneer één input verandert.

• Goal Seek: lost een vergelijking op in één onbekende

• Formula Auditing toolbar: handig om te controleren welke cellen gerelateerd zijn aan andere cellen door middel van formules.

• Fx button: handig om hulp te krijgen over functies in Excel.

• VLOOKUP function: handig om een specifieke waarde te vinden die gebaseerd is op een vergelijking.

• Two-way data table: laat zien hoe één output veranderd wanneer twee inputs varieren.

• SUMPRODUCT function: berekent de som van producten of waarden in twee of meer soortgelijke ranges.

• Trendline tool: superponeert de best passende lijn of curve van een bepaald type op een spreidingsdiagram of tijdreeksen grafiek.

• Conditional formatting: het formaat van de cellen is afhankelijk of deze specifieke voorwaarden bevat.

• Splitting screen: handig om het scherm horizontaal of verticaal te splitsen.

• Efficiënt selection: handig om een groot aantal rechthoekige ranges te selecteren.

• Efficiënt copying: een snelle manier om een formule te kopiëren naar een range.

• NPV function: berekent de NPV van een stroom van kasstromen aan de uiteinden van de opeenvolgende jaren, beginnend in het eerste jaar.

Tips

Aan het einde van dit tweede hoofdstuk geven de schrijvers nog enkele tips om werkbladen op te maken en te documenteren. Dit zijn:

• gebruik het juiste formaat

• gebruik range namen

• gebruik tekstvelden

• gebruik celverklaringen

3. Regressie- en voorspellingsmodellen

Introductie

Veel applicaties die beslissingen maken zijn gestoeld op een voorspelling van een bepaalde hoeveelheid. Er zijn veel voorspellingsmethoden en iedere onderzoeker heeft zijn eigen favorieten. Toch is er een kleine overeenstemming over wat de beste voorspellingsmethodes zijn. Deze methodes kunnen in drie groepen verdeeld worden:

1. beoordelingsmethoden

2. regressiemethoden (ook wel causale modellen genoemd)

3. extrapolatiemethoden (ook wel tijdseries methoden genoemd)

3.1 Regressiemodellen

Regressieanalyses zijn de studies naar de relaties tussen variabelen. Het is een van de meest gebruikte middelen dat gebruikt wordt door een businessanalist. Dit is omdat het in veel verschillende situaties kan worden toegepast. Regressieanalyses kunnen op verschillende manier worden gecategoriseerd:

• op het type dat wordt geanalyseerd:

  • kruispuntdata

  • tijdreeks gegevens

• het aantal verklarende variabelen

De regressiemodellen die het meest uitgebreid behandeld worden in het boek zijn:

• de ‘least-squares line’

• de ‘prediction’ en de ‘fitted values’

• de ‘measures of goodness-of-fit’

• de ‘multiple R’ en de ‘R-square’

Voorbeelden

Een regressielijn dat de som van de gekwadrateerde residuen minimaliseert of de resultaatlijn vanuit een typische regressieanalyse, noemen we de ‘least-squares line’. Zie figuur 14.1 (bladzijde 845) voor een voorbeeld.

De actuele waarde verminderd met de gekozen waarde noemen we een residu. Zie voor een voorbeeld bladzijde 846. Zie voor meerdere voorbeelden van de hierboven genoemde regressiemodellen, bladzijden 846-848.

3.2 Eenvoudige regressiemodellen

De vergelijking voor een eenvoudige regressie is: Y=a+bX. Een uitgewerkt voorbeeld staat te lezen op de bladzijden 848-853.

Tijd kan onbeperkt gebruikt worden als de verklarende variabele in een eenvoudige regressie. Elke X-variabele dat gerelateerd is aan de afhankelijke variabele Y, kan daarvoor gebruikt worden. Een uitgewerkt voorbeeld hiervan staat op de bladzijden 853-860.

3.3 Meervoudige regressiemodellen

Voor een voorbeeld van de werking van meervoudige regressiemodellen, zie de bladzijden 861-866. Voor een uitwerking van het gebruik van ‘dummyvariabelen’, zie de bladzijden 867-870.

Waarschuwingen

De belangrijkste waarschuwingen bij regressieaannames die de schrijvers noemen zijn:

• ‘multicollinearity’ (treedt op wanneer Xs sterk gerelateerd is met een ander; bemoeilijkt de interpretatie van de regressiecoëfficiënten);

• non-lineaire relaties

• non-constante foutvariantie

• ‘autocorrelation of residuals’ (treedt op wanneer bijna alle residuen gerelateerd zijn aan een ander, meestal met tijdseries data)

3.4 Tijdreeksmodellen

Een tijdreeks variabele Y bevat meestal één of meerdere componenten. We onderscheiden er vier:

1. trendcomponent

2. seizoensgebondencomponent

3. cyclische component

4. randomcomponent (ook wel noise component genoemd)

Zie voor voorbeelden van deze componenten de bladzijden 874-877. Op de bladzijden 877-878 staat ook een uitwerking van de maatregelen van de voorspelbare fout. Drie populaire maatregelen om fouten te voorspellen in tijdseries analyses zijn MAE, RMSE en MAPE.

3.5 De ‘moving averages’ methode

Een voorspellingsmethode waarbij de voorspelling voor een periode het gemiddelde is van de verscheidende meest recente perioden, noemen we een ‘moving averages’ methode. Het aantal termen in elk gemiddelde in bewegende gemiddelden noemen we een span. Hoe groter de span, hoe gladder de toekomstige series. Zie voor een uitgewerkt voorbeeld de bladzijden 879-883.

3.6 De ‘exponential smoothing’ methode

Een voorspellingsmethode waarbij de voorspelling voor een periode een gemiddeld gewicht is van eerdere perioden waarbij recentere perioden meer gewicht krijgen, noemen we een ‘exponential smoothing’ methode. We maken daarbij onderscheid in drie methoden:

1. de ‘simple exponential smoothing’ (een versie van ‘exponential smoothing’ die geschikt is wanneer er geen duidelijke trend of seizoensgebondenheid is)

2. de methode van Holt (versie van ‘exponential smoothing’ die geschikt is wanneer er wel een trend is maar geen duidelijke seizoensgebondenheid)

3. de methode van Winter (versie van ‘exponential smoothing’ die geschikt is wanneer er seizoensgebondenheid is en een mogelijke trend)

Voorbeelden van deze methoden staan uitgewerkt op de bladzijden 884-895.

Conclusie

In dit boek zijn veel verschillende voorbeelden behandeld waarvoor een numerieke input voor een spreadsheetmodel nodig was. Deze data wordt in werkelijkheid vaak verkregen door middel van regressie of een extrapolatie voorspellingsmethode. Daarvan zijn een paar behandeld in dit laatste hoofdstuk. Deze belangrijke vaardigheden zijn steeds vaker vereist voor een businessanalist. Dit komt doordat ze allemaal variabelen moeten relateren, trends moeten ontdekken evenals seizoensgebonden patronen en dat ze voorspellingen moeten kunnen doen. De behandelde stof in dit boek kan daarbij zeer behulpzaam zijn.

Belangrijke termen

De belangrijkste termen en begrippen die in de voorbeelden van dit hoofdstuk zijn gebruikt met betrekking tot managementwetenschappen, zijn:

• Regression models: statistische methode dat een vergelijking schat van de ene variabele in relatie tot een of meerdere verklarende variabelen.

• Extrapolation (time series) models: statistische methode een tijdserie variabele relateert aan eerdere waardes van dezelfde variabele.

• Dependent variable: de variabele dat uitgelegd wordt in een regressiemodel, meestal weergegeven als Y.

• Explanatory variables: de variabelen die gebruikt zijn om de afhankelijke variabel in een regressiemodel te verklaren, meestal weergegeven als Xs (worden ook wel onafhankelijke of voorspellende variabelen genoemd

• Simple regression: een regressiemodel met een enkele verklarende variabele.

• Multiple regression: een regressiemodel met meerdere verklarende variabelen.

• Least-squares line: een regressielijn dat de som van de gekwadrateerde residuen minimaliseert; de resultaatlijn vanuit een typische regressieanalyse.

• Residual: het verschil tussen een actuele Y-waarde en de waarde voorspeld door de regressievergelijking.

• Fitted value: een voorspelde waarde van Y, als voorspeld door de regressievergelijking.

• Standard error of estimate: in essentie de standaardafwijking van de residuen; een schatting van de omvang van de voorspelde fouten die gemaakt worden door de regressievergelijking.

• Multiple R: de correlatie tussen de actuele Ys en de gebruikte Ys.

• R-square: het variatiepercentage van Ys verklaard door de regressie.

• Linear trend: een trend waarbij een variabele verandert door een constant bedrag elke tijdsperiode.

• Exponential trend: een trend waarbij een variabele verandert door een constant percentage elke tijdsperiode.

• Dummy variables: 0-1 variabelen die gebruikt zijn in een regressievergelijking om een categorische variabele (zoals Gender of Quarter) te ontcijferen.

• Regression coefficients: de raming van de helling en termen in een regressie output die de regressievergelijking definiëren.

• Multicollinearity: treedt op wanneer Xs sterk gerelateerd is met een ander; bemoeilijkt de interpretatie van de regressiecoëfficiënten.

• Autocorrelation of residuals: treedt op wanneer bijna alle residuen gerelateerd zijn aan een ander, meestal met tijdseries data.

• Extrapolation methods: voorspellingsmethode waarbij oude patronen van een tijdserie variabele zijn ontdekt en geëxtrapoleerd in de toekomst.

• Time series components: de items (inclusief trend, seasonality, cyclic behaviour en noise) die patronen produceren die gezien zijn in de meeste tijdseries variabelen.

• MAE, RMSE, MAPE: drie populaire maatregelen om fouten te voorspellen in tijdseries analyses.

• Moving averages method: een voorspellingsmethode waarbij de voorspelling voor een periode het gemiddelde is van de verscheidende meest recente perioden.

• Span: het aantal termen in elk gemiddelde in bewegende gemiddelden; hoe groter de span, hoe gladder de toekomstige series.

• Exponential smoothing method: een voorspellingsmethode waarbij de voorspelling voor een periode een gemiddeld gewicht is van eerdere perioden waarbij recentere perioden meer gewicht krijgen.

• Smoothing constants: één of meer constanten die allemaal tussen de 0 en 1 zijn die de exponentiele gladde vergelijkingen besturen; lagere waardes voorspellen gladdere voorspellingsseries.

• Simple exponential smoothing: versie van ‘exponential smoothing’ die geschikt is wanneer er geen duidelijke trend of seizoensgebondenheid is.

• Holt’s method: versie van ‘exponential smoothing’ die geschikt is wanneer er wel een trend is maar geen duidelijke seizoensgebondenheid.

• Winters’ method: versie van ‘exponential smoothing’ die geschikt is wanneer er seizoensgebondenheid is en een mogelijke trend.

De belangrijkste termen en begrippen die in de voorbeelden van dit hoofdstuk zijn gebruikt met betrekking tot Exel, zijn:

• Creating a scatterplot: handig om de relatie tussen twee variabelen te identificeren.

• Superimposing a trend line: handig om een linear of een exponentiele trend door middel van een ‘scatterplot’ te identificeren.

• EXP function: gebruikt om het speciale nummer e te doen toenemen tot een kracht; wordt ook wel de ‘antilog’-functie genoemd.

• StatTools add-in: een krachtige en eenvoudig te gebruiken toepassing die ontwikkeld is door Palisade.

• Analysis ToolPak: een statistische toepassing in Excel; gebruikt voor regressie en verschillende andere statistische procedures.

• Creating a time series graph: handig om te zien hoe tijdseries variabelen zich gedragen door de tijd.

4. Introductie optimalisatie modellering

Lineaire programmering

LP staat voor lineaire programmering en wordt gebruikt in alle typen organisaties (vaak zelfs dagelijks) om verschillende problemen op te lossen. Denk bijvoorbeeld aan werkschema’s, inventarisatiemanagement en obligatiehandel.

Alle optimalisatieproblemen hebben een objectieve functie om geoptimaliseerd te worden. De meeste optimalisatieproblemen hebben ook beperkingen die opgelost moeten worden. Het programma Excel heeft zijn eigen terminologie voor optimalisatie. Zo noemen ze besluitvariabelen ‘changing cells’ en de doelstellingen‘objective cell’.

Nonnegativity

Beperkingen kunnen in verschillende vormen voorkomen. Een veelvoorkomende is ‘nonnegativity’. Dit houdt in dat beperkingen ‘changing cells’ impliceren die niet-negatieve waarden bevatten.

Basisstappen

Er zijn twee basisstappen bij het oplossen van optimalisatieproblemen. De eerste is het ontwikkelen van een model en de tweede stap is optimaliseren. Dit houdt in dat er systematisch gekozen moet worden voor die waarden van de besluitvariabelen die de doelstelling zo groot of klein als mogelijk maken en alle beperkingen oplossen.

Mogelijke oplossingen

Een ‘feasible solution’ is een oplossing dat alle beperkingen oplost. De ‘feasible region’ in het pakket van alle uitvoerbare oplossingen. Een ‘infeasible solution’ lost tenminste een van de beperkingen op en een ‘optimal solution’ is de uitvoerbare oplossing dat de doelstelling optimaliseert.

Voorbeelden

Een voorbeeld van een twee-variabelen productmixmodel is te vinden in voorbeeld 4.1.

Gevoeligheidsrapport in Solver

Belangrijke punten als het gaat om een gevoeligheidsrapport in Solver ten aanzien van SolverTable zijn:

• Het rapport richt zich alleen op de coëfficiënten van de doelstelling en de rechte kanten van de beperkingen. Met SolverTable is het mogelijk elke van de inputs te valideren.

• Het rapport biedt hele bruikbare informatie doordat het kosten, schaduwprijzen en toelaatbare verhogingen en verlagingen reduceert. Met SolverTable kan dit ook, maar het vereist iets meer werk en oefening.

• Het rapport is gebaseerd op de verandering van één doelstellingcoefficient of een rechte kant op hetzelfde moment. SolverTable is hier veel flexibeler in.

• Het rapport is gebaseerd op een goedgefundeerde rekeningkundige theorie van gevoeligheidsanalyse in lineaire programmering. De outputs van SolverTable zijn daarentegen eenvoudiger. Het is mogelijk één of twee inputs varieren en het is gelijk zichtbaar hoe de optimale oplossing veranderd.

• Het is rapport is niet beschikbaar voor onnatuurlijke modellen en zijn interpretatie voor niet-lineaire modellen is moeilijker dan voor lineaire modellen. SolverTable daarentegen heeft voor elk type optimalisatiemodel dezelfde interpretatie.

• Het rapport hoort bij Excel. SolverTable is een apart programma dat niet bij Excel is inbegrepen.

Een uitgebreid voorbeeld van een gevoeligheidrapport in Solver (software) staat in 4.4.

Verschillen

Er zijn drie belangrijke onderdelen waarop lineaire programmering zich onderscheid van algemene rekenkundige programmeringmodellen:

• evenredigheid

• additiviteit

• deelbaarheid.

Evenredigheid (Proportionality)

Dit onderdeel houdt in dat het niveau van welke activiteit dan ook, wordt vermenigvuldigd met een constante factor, waardoor de bijdrage van deze activiteit tot de doelstelling of tot één van de beperkingen waarbij deze is betrokken, wordt vermenigvuldigd met dezelfde factor.

Additiviteit (Additivity)

De additiviteit impliceert dat de som van de bijdragen aan de verschillende activiteiten van een bepaalde beperking, gelijk is aan de totale bijdrage tot deze beperking.

Deelbaarheid (Divisibility)

De deelbaarheid houdt in dat er zowel integer als niet-integer activiteitenniveaus zijn toegestaan.

Foutmeldingen

Twee dingen die vaak fout kunnen gaan wanneer Solver wordt gebruikt zijn:

1. Onhaalbaarheid (infeasibility)

2. Onbegrensdheid (unboundedness)

Voorbeelden

In 4.2 wordt aan de hand van een uitgebreid voorbeeld een groter productmixmodel besproken. Een multiperiode productiemodel staat uitgelegd in voorbeeld 4.3.

Belangrijke termen

De belangrijkste termen en begrippen die in de voorbeelden van dit hoofdstuk zijn gebruikt zijn:

1. Linear programming model: een optimalisatiemodel met een lineaire doelstelling en lineaire beperkingen.

2. Objective: de waarde, zoals winst, die wordt geoptimaliseerd in een optimalisatiemodel

3. Constraints: condities die opgelost moeten worden in een optimalisatiemodel.

4. Changing cells: cellen die de waarden bevatten van de beslissende variabelen.

5. Nonnegativity constraints: beperkingen die besluitvormingsvariabelen vereisen om niet negatief te zijn, meestal voor fysieke redenen.

6. Feasible solution: een oplossing die alle beperkingen wegneemt.

7. Feasible region: het geheel van alle haalbare oplossingen.

8. Optimal solution: de haalbare oplossing die de beste waarde heeft voor de doelstelling.

9. Solver: een invoeging dat samenwerkt met Excel voor de uitvoering van de optimalisatie.

10. Simplex method: een efficiënt algoritme om de optimale oplossing te vinden voor een lineair programmeringmodel.

11. Sensitivity analysis: zien hoe de optimale oplossing verandert wanneer de invoer van verschillende waarde verandert.

12. Algebraic model: een model dat de beperkingen laat zien van een algebraïsche doelstelling.

13. Graphical solution: grafische weergave van de beperkingen en doelstelling om zo’n manier dat de optimale oplossing gevonden kan worden; alleen bruikbaar wanneer er twee besluitvariabelen zijn.

14. Spreadsheet model: een model dat spreadsheetformules gebruikt om de logica van het model weer te geven.

15. Binding constraint: een beperking die geldt als een gelijkheid.

16. Nonbinding constraint, slack: een beperking daar waar een verschil is, de toegestane vertraging, tussen twee zijden van de ongelijkheid.

17. Solver’s sensitivity report: een verslag dat verkrijgbaar is bij Solver en dat de gevoeligheid weergeeft ten aanzien van de doelstellingscoëfficiënten en de rechterzijde van de beperkingen.

18. Reduced cost: hoeveelheid objectieve coëfficiëntie van een variabele op het moment dat het gelijk is aan nul en moet wijzigen voordat het optimaal is voor die variabele om positief te zijn.

19. Shadow price: de verandering in de doelstelling voor een verandering aan de rechterzijde van een beperking; indicatie van het bedrag dat een bedrijf wil betalen voor meer van een schaarse hulpbron.

20. SolverTable: een invoeging dat gevoeligheidsanalyses weergeeft voor elke input en verslagresultaten in een tabelvorm en een grafische vorm.

21. Selecting multiple ranges: handig wanneer cellen veranderen, bijvoorbeeld in niet-aaneengesloten velden.

22. Mathematical programming model: elk optimalisatiemodel, of deze nu lineair, integer of niet-lineair is.

23. Proportionality, additivity, divisibility: eigenschappen van een optimalisatiemodel die resulteren in een lineair programmeringsmodel.

24. Infeasibility: conditie wanneer een model geen haalbare oplossing heeft.

25. Unboundedness: conditie voor wanneer er geen limit is tot de doelstelling; meestal een teken van een fout in het model.

26. Rolling planning horizon: multiperiodiek model wanneer er alleen in de eerste periode een beslissing is geïmplementeerd en dan een nieuw multiperiodiek model is opgelost in succesvolle periodes.

27. Decision support system: gebruiksvriendelijk systeem waarin een eindgebruiker invoegingen in het model kan doen en de uitkomsten kan zien, zonder zich zorgen te moeten maken over technische details.

5. Lineaire programmeringsmodellen

Introductie

Dit hoofdstuk richt zicht op het bouwen van optimalisatiemodellen voor o.a.:

• het aankopen van televisieadvertenties;

• een planning voor postmedewerkers;

• een werk- en productieplan te maken voor een schoenenbedrijf.

De doelstellingen in dit hoofdstuk zijn om te laten zien hoeveel mogelijkheden van reële toepassingen er zijn van lineaire programmeringsmodellen en om de lezer zijn vaardigheden van Excel te doen vergroten.

5.1 Adverteermodellen

Veel bedrijven besteden grote sommen geld om hun producten te adverteren. Ze willen zeker weten dat ze hun geld goed besteden. In de praktijk houdt dat in dat ze met zo weinig mogelijk middelen en tegen zo laag mogelijke kosten een zo groot mogelijk deel van hun potentiële klanten willen bereiken.

Voorbeeld

Onder kopje 5.1 Adverteermodellen in het boek staat een voorbeeld van een adverteermodel.

Nadelen

Voor realistische toepassingen kent het adverteermodel tenminste één zwak punt: dubbeltelling. Na verschillende advertenties kunnen dezelfde mensen kijken, waardoor een bedrijf wellicht denkt een grote doelgroep te hebben aangesproken, maar dat dit in werkelijkheid steeds dezelfde mensen zijn.

Er zijn twee moeilijkheden ten aanzien van het adverteermodel:

• het is heel moeilijk om vast te stellen hoeveel mensen een advertentie hebben gezien, wanneer een advertentie meerdere keren tijdens hetzelfde televisieprogramma wordt getoond.

• zelfs wanneer een bedrijf de moeilijkheden van dit eerste punt weet te vermijden, dan nog heeft het te maken met een non-lineair model. Dit is omdat de mogelijke aannames van een lineair model niet langer standhouden.

5.2 Roostermodellen

Veel bedrijven maken gebruik van roostermodellen om hun medewerkers in te kunnen plannen. Aan de hand van deze planning hopen ze een zo adequaat mogelijke manier te vinden om hun medewerkers te laten werken.

Voorbeeld

Onder het kopje 5.2 Roostermodellen staat een voorbeeld van een roostermodel.

Nadelen

• Meestal vraag een roostermodel om niet statisch, maar juist dynamisch te zijn. In het voorbeeld in het boek hebben ze echter geen rekening gehouden met het realistische feit dat medewerkers ook vakantiedagen opnemen en dat de vraag naar werk kan in de loop van de tijd veranderen. Hierdoor is het voorbeeld in het boek nogal statisch.

• Een weekroostermodel voor bijvoorbeeld een supermarkt of restaurant, kunnen de besluitvariabelen snel veranderen. Een optimalisatieprogramma zoals Solver, heeft vaak veel moeite om dan nog een optimale oplossing te geven. In soortgelijke situaties is het vaak meer bruikbaar om een heuristiekmodel te gebruiken.

• Het model in het voorbeeld kan eenvoudig uitgebreid worden om bijvoorbeeld parttime-medewerkers in te roosteren. Het boek laat het aan de lezer om dit uit te vinden.

5.3 Gezamenlijk planningsmodel

Wanneer we het personeelsbestand en productieschema’s bepalen voor een langere periode, spreken we van een gezamenlijk planningsmodel. Er zijn veel verschillende soorten van een dergelijk planningsmodel, na gelang de vraag.

Voorbeeld

Onder het kopje 5.3 Gezamelijk planningsmodel staat een voorbeeld van een gezamenlijk planningsmodel.

Nadelen

1. Silver (1998) adviseert dan wanneer de vraag seizoengebonden is, de horizontale planning zou moeten bestaan voorbij de volgende seizoenspiek.

2. Voorbij een zeker punt, nemen de kosten toe voor het gebruik van extra uren of overwerk. Dit is omdat medewerkers dan minder efficiënt worden. Dit type gedrag is niet verwerkt in een mode, maar zou een model non-lineair maken.

5.4 Mengmodellen

In veel gevallen moet verschillende input samengevoegd worden om een gewenste output te kunnen krijgen. In veel van deze situaties kunnen lineaire programma’s de optimale combinatie van de output vinden als ook de mix van input die gebruikt is om de gewenste output te krijgen. Dit geldt ook voor hele praktische modellen, denk bijvoorbeeld aan een recept: verschillende ingrediënten vormen samen een eindproduct, een maaltijd.

Voorbeeld

Onder het kopje 5.4 Mengmodellen staat een voorbeeld van mengmodellen en hoe ze te gebruiken zijn in Excel.

Nadelen

In de realiteit zal een bedrijf zijn model elke periode aanpassen en de productie aanpassen aan de huidige inventaris van inputs en de huidige voorspellingen van de vraag en de prijzen.

5.5 Productieprocesmodellen

Lineair programmeren wordt veelal toegepast om de optimale methode vast te stellen van een productieproces. In het bijzonder in de olie-industrie wordt veel gewerkt met lineair programmeren. De modellen worden vaak gekarakteriseerd door het feit dat sommige van de geproduceerde producten input zijn voor de productie van andere producten.

Voorbeeld

Onder het kopje 5.5 Productieprocesmodellen staat een voorbeeld van een productieprocesmodel.

5.6 Financiële modellen

De meerderheid van de optimalisatievoorbeelden die worden omschreven in boeken over managementwetenschappen spelen zich af het operatiegebied, zoals roosters, vermengingen, logistiek en gezamenlijke planningen. Dit is omdat veel van de toepassingen zich afspelen in deze gebieden. Maar naast deze gebieden, wordt optimalisatie en andere wetenschappelijk managementmethoden ook succesvol toegepast in verschillende financiële gebieden en deze verdienen ook erkenning. Typische toepassingen van lineair programmeren in de financiële wereld hebben betrekken op investeringsstrategie en pensioenfondsmanagement.

Voorbeeld

Onder het kopje 5.6 Financiële modellen staan voorbeelden van toepassingen van lineair programmeren in de financiële wereld.

5.7 DEA

De afkorting DEA staat voor ‘Data Envelopment Analysis’ en is een methode dat gebruikt kan worden om te bepalen of een onderneming efficiënt opereert. Denk bijvoorbeeld aan ziekenhuizen, universiteiten, restaurants en andere ondernemingen. DEA kan in het bijzonder goed gebruikt worden bij inefficiënte ondernemingen.

Voorbeeld

Een voorbeeld van DEA staat onder het kopje 5.7 DEA.

Nadelen

• De ratio (input ‘i’ kost)/(input ‘j’ kost) kan geïnterpreteerd worden als het marginale tarief van substitutie of de input ‘i’ voor de input ‘j’.

• De ratio (output ‘i’ prijs)/(output ‘j’ prijs) kan geïnterpreteerd worden als het marginale tarief van substitutie (van de optimale oplossing) als output ‘i’ voor output ‘j’.

Conclusie

Er zijn een aantal onderdelen dat in de meeste spreadsheet optimalisatiemodellen gebruikt dienen te worden:

• Bepaal de veranderende cellen, de cellen die de waarden van de beslissingsvariabelen bevatten.

• Maak het spreadsheetmodel zo, dat het eenvoudig is om er berekeningen mee te maken van wat je wilt maximaliseren of minimaliseren.

• Maak het spreadsheetmodel zo, dat de relatie tussen de cellen in de spreadsheet en de probleembeperkingen duidelijk zichtbaar zijn.

• Maak het spreadsheetmodel duidelijk leesbaar.

• Denk er aan dat lineaire programmeringsmodellen vaak uiteenvallen in verschillende categorieën, maar ze zijn absoluut niet allemaal gelijk.

Belangrijke termen

De belangrijkste termen en begrippen die in de voorbeelden van dit hoofdstuk zijn gebruikt met betrekking tot managementwetenschappen, zijn:

• Dual-objective model: een model met twee concurrerende doelstellingen; de gebruikelijke strategie beperkt één van deze en optimaliseert de ander.

• Integer constraints: beperkingen die (sommige) veranderende cellen limiteert tot integer waarden.

• Multiple optimal solutions: zaak waarin verschillende oplossingen dezelfde optimale waarde van de doelstelling hebben.

• Heuristic: een educatieve verwachtingsoplossing, niet gegarandeerd de meest optimale oplossing, maar meestal snel en makkelijk te verkrijgen.

• Nonsmooth problems: non-lineaire modellen met ‘scherpe randjes’ of discontinuiteiten waardoor ze moeilijk op te lossen zijn.

• DEA (Data Envelopment Analysis): een methode om te bepalen of organisatie-eenheden efficiënt zijn in termen van het gebruik van hun inputs ten aanzien van de productie van hun outputs.

De belangrijkste termen en begrippen die in de voorbeelden van dit hoofdstuk zijn gebruikt met betrekking tot Exel, zijn:

1. Range name shortcut: een snelle manier om reeksnamen te maken, gebruikslabels in aangrenzende cellen.

2. Solver integer constraints: beperkingen op veranderende cellen om te integer te maken.

3. Row, column sums shortcut: snelle manier om een rij en/of een column sommen uit een tabel te krijgen.

4. Nonsmooth functions with Solver: vermijd het gebruik van functies als IF, Min, MAX en ABS in Solver-modellen.

5. TRANSPOSE function: handige functie om columnreeksen naar rijreeksen te verplaatsen en vice versa.

6. Array functions: Excel-functie zoals TRANSPOSE, dat een hele reeks in één keer vult.

6. Netwerkmodellen

Introductie

Veel belangrijke optimalisatiemodellen hebben een natuurlijk grafisch netwerkrepresentatie. In dit hoofdstuk worden een aantal specifieke voorbeelden van netwerkmodellen behandeld. Er zijn drie redenen te noemen waarom netwerkmodellen onderscheiden moeten worden van andere lineaire programmeringsmodellen:

• De netwerkstructuur van deze modellen maakt het mogelijk om grafisch gerepresenteerd te worden op een manier die intuïtief is aan de gebruikers.

• Veel bedrijven hebben vaak zeer grote reële problemen die gepresenteerd kunnen worden in een netwerkmodel.

• Speciale oplossingstechnieken zijn speciaal ontwikkeld voor netwerkmodellen.

6.1 Transportmodellen

In de meeste gevallen produceert een bedrijf producten op locaties die ze de ‘oorsprong’ noemen en vervoert deze producten naar de klantlocaties die ze de ‘bestemming’ noemen. Kenmerkend is dat elke ‘oorsprong’ een limiet heeft dan vervoert kan worden en elke klantlocatie moet een vereiste hoeveelheid van het product ontvangen. Met behulp van een spreadsheet optimalisatiemodel kan bepaalt worden tegen welke minimale kosten aan de vraag van de klant kan worden voldaan.

In dit hoofdstuk gaan de schrijvers er van uit dat de weg van de oorsprong naar de bestemming de enige mogelijke weg van transport is. Het is niet mogelijk om tussen verschillende oorsprongen of tussen verschillende bestemmingen te vervoeren. De reden hiervoor is dat dit probleem (het transportprobleem) al in veel andere wetenschappelijk studies is uitgewerkt.

Voorbeeld

Onder het kopje 6.1 Transportmodellen staat een voorbeeld en een uitwerking van dit model.

Nadelen

• De vraag van de klant is een typisch transportprobleem waar op twee verschillende manier mee omgegaan kan worden: kijken wat de minimale vraag van de klant zal zijn of de vraag van de klant zien als de een maximale verkoopkwantiteit.

• Als alle leveringen en vragen voor een transportprobleem integer zijn, de optimale Solver-oplossing is automatisch een integer-waarde transport.

• Transportkosten zijn meestal non-lineair en dat is te wijten aan de kwantiteitskortingen.

• Excel’s Solver gebruikt de simplexmethode om transportproblemen op te lossen.

• De SUMIF-methode kan inefficiënt zijn voor grote modellen. Dit beweren LeBlanc en Galbreht. Zij adviseren om een macro te schrijven in VBA om de juiste stromen in en uit knooppunten samen te vatten.

6.2 Opdrachtmodellen

Opdrachtmodellen worden gebruikt om leden of een groep van leden één op één toe te wijzen aan andere leden of een andere groep leden. Tegen zo laag mogelijke kosten of in zo weinig mogelijk tijd. Het prototype van een opdrachtmodel is die van machines naar banen. Een voorbeeld hiervan staat onder het kopje 6.2 Opdrachtmodellen.

Voorbeeld

Onder het kopje 6.2 Opdrachtmodellen in het boek staan voorbeelden van opdrachtmodellen.

6.3 Andere logistieke modellen

De doelstelling van veel reële netwerkmodellen is om goederen te vervoeren van een locatiepunt naar een ander locatiepunt tegen zo laag mogelijke kosten, onderworpen aan verschillende beperkingen.

In de basis is het algemene logistieke probleem gelijk aan het transportprobleem, op twee verschillen na:

1. Capaciteiten van een ‘arc’ zijn meestal opgelegd op één of alle ‘arcs’. Dit worden eenvoudige bovengrensbeperkingen in het model.

2. Instroom en uitstroom kunnen geassocieerd worden met elke ‘node’. ‘Nodes’ zijn doorgaans categorieën zoals oorsprong, bestemming en een vervoerspunt.

Er zijn doorgaans twee typen beperkingen in een logistiek model. Het eerste type representeert de beperkingen van de ‘arc’-capaciteit. En het tweede type representeert de beperkingen van de stroombalans.

Deze beperkingen zijn te visualiseren in een grafische representatie van een netwerk door de stromingen te onderzoeken die lijden naar de pijlen in en uit de verschillende ‘nodes’. Een illustratie en voorbeeld hiervan staan in het boek.

Nadelen

• Excel’s Solver gebruikt de simplexmethode om logistieke modellen op te lossen. Deze methode kan dit soort modellen dramatisch vereenvoudigen. Meer efficiënt dan de gewone simplexmethode is de netwerksimplexmethode.

• Als de gegeven benodigdheden en vragen voor de ‘nodes’ integer zijn evenals de ‘arc’-capaciteiten, dan heeft het logistieke model altijd een optimale oplossing met alle integer stromingen.

6.4 Kortste weg modellen

De doelstelling is in veel toepassingen te vinden in de kortste weg tussen twee punten in het netwerk. Een voorbeeld hiervan wordt uitgewerkt onder het kopje 6.4 Kortste weg modellen.

Nadelen

• Er is geen inflatie in dit model, wat betekent dat de monetaire waardes niet toenemen na verloop van tijd.

6.5 Netwerkmodellen in de luchtvaartindustrie

Aan het einde van dit hoofdstuk gaan de schrijvers nog iets dieper in de materie door twee netwerkmodellen te bespreken die veel gebruikt worden in de luchtvaartindustrie. De ene is het roostermodel voor de bemanning en de ander is het model voor het vluchtrooster. Hoe deze twee modellen uitgevoerd kunnen worden, staat toegelicht in de voorbeelden onder het kopje 6.5 Netwerkmodellen in de luchtvaartindustrie.

Conclusie

In dit hoofdstuk zijn een aantal wetenschappelijk managementproblemen besproken die geformuleerd kunnen worden als netwerkmodellen. Veel van deze problemen hebben vaak te maken met de logistiek. Denk bijvoorbeeld aan de transport van goederen van de ene locatie naar de andere. Maar ook problemen die niet langs een fysiek netwerk zich verplaatsen, kunnen soms geformuleerd worden als een netwerkmodel. Denk bijvoorbeeld aan vervangingsproblemen ten aanzien van machines.

Een probleem als een netwerkmodel formuleren heeft zeker twee voordelen:

1. Snelle algoritmes met een speciaal doel zijn beschikbaar voor verschillende vormen van netwerkmodellen.

2. De grafische representatie van netwerkmodellen maakt het vaak makkelijker om ze te visualiseren.

Belangrijke termen

De belangrijkste termen en begrippen die in de voorbeelden van dit hoofdstuk zijn gebruikt met betrekking tot managementwetenschappen, zijn:

1. Network models: groep van optimalisatiemodellen dan grafisch kan worden weergegeven als een netwerk; kenmerkend (maar niet altijd) gaat het over het vervoer van goederen van de ene locatie naar een andere tegen zo laag mogelijke kosten.

2. Nodes: punten in een netwerkrepresentatie; komen meestal overeen met locaties.

3. Arcs: pijlen in een netwerkrepresentatie; komen vaak overeen met routes die locaties met elkaar verbinden.

4. Flows: beslissingsvariabelen die de bedragen langs de ‘arcs’ representeren.

5. Arc capacities: bovenstromen op ‘flows’ op sommige van alle ‘arcs’.

6. Flow balance constraints: de beperkingen van de kracht van de verzonden hoeveelheid naar een knooppunt zijn gelijk aan de uitgezonden hoeveelheid, mogelijk uitgezonderd zijn de bedragen die beginnen of eindigen bij het knooppunt.

7. Assignment models: groep van optimalisatiemodellen waarbij leden van één set (bijvoorbeeld medewerkers) optimaal moeten worden toegewezen aan de leden van een andere set (bijvoorbeeld banen).

8. Shortest path models: netwerkmodellen waarbij het doel is om van een oorspronkelijk punt te komen tot een bestemmingspunt op een zo kort mogelijke afstand of tegen zo laag mogelijke kosten.

De belangrijkste termen en begrippen die in de voorbeelden van dit hoofdstuk zijn gebruikt met betrekking tot Exel, zijn:

• SUMIF function: de waarde van de som in één reeks komt overeen met de cellen in een gerelateerde reeks dat voldoet aan een criterium.

• COUNTIF function: telwaarde in een reeks dat voldoet aan een criterium.

7. Optimalisatiemodellen met integer variabelen

Introductie

In dit hoofdstuk staat centraal hoeveel complexe problemen verwerkt kunnen worden in een model met gebruik van 0-1 variabelen en andere variabelen die beperkingen hebben voor integer waarden. Een beslissingsvariabel dat gelijk moet zijn aan 0 of 1 noemen we een 0-1 variabel (ook wel ‘binary variables’ genoemd).

Optimalisatiemodellen waarbij alle of sommige van de beslissingsvariabelen worden belemmerd om integer waarden te hebben, noemen we IP-modellen. Hierin staat IP voor ‘Integer Programming’. IP-modellen zijn er in veel verschillende vormen. In hoofdstuk 4 zijn daarvan al enkele voorbeelden behandeld. T

Toch worden in dit hoofdstuk andere vormen van IP-modellen behandeld, namelijk lineaire modellen. Deze lijken veel op de modellen in de eerdere hoofdstukken. Het grootste verschil is echter dat sommige van de veranderende cellen de beperking hebben om binair of integer te zijn.

7.1 Overzicht van optimalisatie met integer variabelen

Het belangrijkste verschil tussen LP-modellen en IP-modellen is dat LP-modellen fractiewaardes toestaat (zoals 0.137 en 5.3268) in de veranderende cellen. IP-modellen staan alleen waardes toe die integer zijn. Dit maakt ze niet eenvoudiger op te lossen dan LP-modellen.

Een nieuwe oplossingsprocedure bij Solver is het ‘branch and bound algoritm’: een algemeen algoritme om te zoeken in alle oplossingen met een integer in een IP-model. In het boek wordt hiervan een voorbeeld gegeven.

Eenzelfde lineair model, maar dan zonder belemmeringen van het integer, noemen we een ‘LP relaxation’. Deze komt van pas bij de tolerantie-instelling in Solver. Een toelichting hierop wordt gegeven in het voorbeeld onder het kopje 7.1 Overzicht van optimalisatie met integer variabelen.

Nieuw in dit hoofdstuk is ook dat bij het gebruik van het programma Solver twee nieuwe waarschuwingen kunnen verschijnen:

• de waarschuwing voor een maximaal aantal subproblemen

• de waarschuwing voor een maximaal tijdslimiet.

Bij elk van de twee waarschuwingen kan er gekozen worden om door te gaan of te stoppen. De schrijvers adviseren om door te gaan (behalve als je moe wordt van het lange wachten en gelooft dat de gegeven oplossing goed genoeg is).

7.2 Kapitaal budgetteringsmodellen

Het meest eenvoudige binaire IP-model is te vinden in het voorbeeld dat de schrijvers geven onder het kopje 7.2 Kapitaal budgetteringsmodellen.

Nadelen

In het voorbeeld onder het kopje 7.2 Kapitaal budgetteringsmodellen worden enkele mogelijke problemen besproken van het budgetteringsmodel. Wanneer een IP-model 0-1 variabelen heeft met maar één beperking, dan wordt een dergelijk model altijd een ‘knapsack problem’ genoemd.

7.3 Vaste kosten modellen

Kosten die onafhankelijk zijn van het niveau van de activiteit noemen we vaste kosten of vaste bedragen. Welk model het beste gebruikt kan worden, wordt aan de hand van een voorbeeld uiteengezet onder het kopje 7.3 Vaste kosten modellen.

7.4 ‘Set-covering models’ en locatiemodellen

Veel bedrijven hebben te maken met klanten die zich geografisch verspreid bevinden. Toch moeten bedrijven deze verschillende klanten op de één of andere manier kunnen bedienen. Modellen die hierbij kunnen helpen zijn het ‘set-covering model’ en locatiemodellen (location models).

Modellen waarbij leden van één set gelokaliseerd moeten worden zodat zij leden van een andere set beschermen, noemen we ‘set-covering modellen’. Modellen waarbij items gelokaliseerd moeten worden om de gevraagde services tegen minimale kosten te kunnen voorzien, noemen we lokale modellen.

Voorbeeld

Onder het kopje 7.4 ' Set covering models' en locatiemodellen worden deze twee modellen toegelicht aan de hand van verschillende voorbeelden.

7.5 ‘Cutting stock’ modellen

De laatste paragraaf van dit hoofdstuk wordt besteed aan de zogeheten ‘cutting stock’ modellen. Dit model wordt veelvuldig gebruikt in vooral fabricagetoepassingen. In tegenstelling tot andere modellen die behandeld werden in dit hoofdstuk, heeft het ‘cutting stock’ model geen binaire variabelen, maar integer variabelen. Een probleem is relatief eenvoudig in dit model te plaatsen, maar het kan Solver veel tijd kosten om het vervolgens op te lossen.

Voorbeeld

Onder het kopje 7.5 'Cutting stock' modellen wordt aan de hand van een voorbeeld het ‘cutting stock’ model verder toegelicht.

Conclusie

Aan het einde van dit hoofdstuk kunnen we drie belangrijke conclusies trekken:

• Veel verschillende belangrijke problemen kunnen in een model worden gebracht als een IP-probleem met binaire variabelen.

• Sommige IP-modellen zijn vereenvoudigde LP-modellen met integer beperkingen op de variabelen.

• De oplossingsbenadering die aangeraden wordt voor IP-problemen (in het bijzonder die met 0-1 variabelen), is inherent moeilijker dan de eenvoudige methode voor LP-problemen.

Belangrijke termen

De belangrijkste termen en begrippen die in de voorbeelden van dit hoofdstuk zijn gebruikt met betrekking tot managementwetenschappen, zijn:

• Binary variables: variabelen beperken om waardes van 1 of 0 te hebben; meestal gebruikt om een indicatie te krijgen of een activiteit wordt uitgevoerd of niet. Ook wel ‘1-0 variabelen’ genoemd.

• IP models: optimalisatiemodellen waarbij alle of sommige van de beslissingsvariabelen worden belemmerd om integer waarden te hebben.

• Branch and bound algoritm: een algemeen algoritme om te zoeken in alle oplossingen met een integer in een IP-model.

• Complete enumeration: een intensieve methode om de objectieve waarde van elke mogelijke oplossing met een integer te controleren.

• Implicit enumeration: een slimme manier om te controleren dat er geen mogelijke oplossingen met een integer beter is dan de optimale oplossing, zonder expliciet te kijken naar elke mogelijke oplossing met een integer.

• Incumbent solution: de best mogelijke oplossing die er tot nu toe is gevonden.

• LP relaxation: hetzelfde lineaire model, maar dan zonder belemmeringen van het integer.

• Fixed-cost models: moeilijk oplosbare modellen waarin zekere kosten zijn opgelost op een positief niveau als een activiteit is ondernomen op welk niveau dan ook en anders geen 0 is.

• Either-or constraints: belemmeringen waarbij één of twee wederzijdse exclusieve condities opgelost moeten worden.

• Set-covering models: modellen waarbij leden van één set gelokaliseerd moeten worden zodat zij leden van een andere set beschermen.

• Location models: modellen waarin items gelokaliseerd moeten worden om de gevraagde services tegen minimale kosten te kunnen voorzien.

De belangrijkste termen en begrippen die in de voorbeelden van dit hoofdstuk zijn gebruikt met betrekking tot Exel, zijn:

• Solver Tolerance setting: instelling die aangeeft of Solver zal stoppen op een bijna optimale oplossing van een integer of zal doorgaan tot een optimale oplossing.

8. Non-lineaire optimalisatiemodellen

Introductie

In veel complexe optimalisatieproblemen hebben de modellen vaak non-lineaire delen in de doelstelling en/of de beperkingen. We noemen dit NLP (Nonlineair Programming).

Een model kan non-lineair worden door verschillende redenen. Bijvoorbeeld:

• Er zijn geen constante terugkoppelingen om te schalen: het effect van sommige input op sommige output is non-lineair.

• In prijsmodellen zijn de inkomsten de prijs vermenigvuldigd met de verkochte kwantiteit. De prijs is de besluitvariabele.

8.1 Basisideeën over non-lineaire optimalisatie

1. Een oplossing die beter is dan alle bijna oplossingen, maar misschien niet de allerbeste oplossing is, noemen we de ‘local optimum’. Een oplossing die gegarandeerd de beste oplossing is, noemen we de ‘global optimum’. Voor sommige NLP-problemen kan Solver vastlopen op een ‘local optimum’ en nooit een ‘global optimum’ vinden.

2. Een functie met een niet-afnemende helling noemen we de ‘convex function’ en een functie met een niet-toenemende helling noemen we een ‘concave function’. Een uitwerking van deze twee functie staat in het boek.

De garantie van Solver

Een aantal problemen lost Solver gegarandeerd altijd op. Daarbij gaat het de condities voor problemen aangaande maximalisatie en minimalisatie.

Solver vindt (indien het bestaat) de ‘global maximum’ indien er sprake is van:

• De doelfunctie is concaaf of het logaritme van de doelfunctie is concaaf.

• De beperkingen zijn lineair.

Solver vindt (indien het bestaat) de ‘global minimum’ indien er sprake is van:

• De doelfunctie is convex.

• De beperkingen zijn lineair.

Formule 8.1 en figuur 8.6 lichten toe wat er gebeurt wanneer de aannames geen stand houden.

8.2 Prijsmodellen

Prijszetting van producten en diensten is voor veel bedrijven een lastig besluit. Verschillende soorten van prijszetting worden aan de hand van een NLP-model uitgelegd in deze paragraaf. Zie voor de berekeningen het kopje 8.2 Prijsmodellen in het boek.

8.3 Reclamerespons en selectiemodellen

In hoofdstuk 5 is er al eerder gesproken over een toewijzingsmodel voor reclame. In deze paragraaf kijken de schrijvers naar twee andere voorbeelden. In het eerste voorbeeld gebruikt een bedrijf historische data om zijn reclamerespons in te schatten. Dit is een non-lineair optimalisatiemodel. Dit type functie van reclamerespons is in het tweede voorbeeld gebruikt om een non-lineaire versie op te lossen van het reclameselectieprobleem in hoofdstuk 5. Zie voor de uitgewerkte voorbeelden het boek.

8.4 Faciliteit locatiemodellen

Problemen met de faciliteitlocaties kunnen doorgaans opgelost worden met behulp van een NLP-model. Aan de hand van een voorbeeld wordt onder het kopje 8.4 Faciliteit locatiemodellen dit verder toegelicht.

1. Modellen om sportteams te beoordelen

Het programma Solver kan gebruikt worden om uit te rekenen welk sportteam in welk sportseizoen beter was. In het voorbeeld in het boek wordt aan de hand van een voorbeeld dit verder toegelicht.

2. Portfolio optimalisatiemodellen

Hoe bepalen fiscale analisten welk portfolio tegen de laagste kosten de hoogste opbrengsten levert? Halverwege de vorige eeuw kwam Harry Markowitz met een antwoord op deze vraag. Voor zijn uitwerking van dit probleem kreeg hij in 1990 de Nobelprijs voor de economie.

De belangrijkste formules staan weergegeven en uitgelegd met behulp van een berekening onder kopje 8.4 Faciliteit locatiemodellen onder nummer 2 Portfolio optimalisatiemodellen.

Het portfolio selectiemodel

De meeste investeerders hebben twee doelen bij het opstellen van hun porfolio’s:

• het verkrijgen van een zo groot mogelijke respons;

• het verkrijgen van een zo klein mogelijke variatie (om het risico zo klein mogelijk te houden).

Voorbeeld

Hoe het mogelijk is om de bovenstaande doelen te realiseren in Excel, wordt uitgelegd aan de hand van een voorbeeld in het boek.

3. Schatten van de bèta van een voorraad

Het is voor fiscale analisten van groot belang om een inschatting te kunnen maken wat de terugkeer naar de voorraad is vanuit de terugkeer van de markt. In de marktindex is dat zoiets als de S&P 500 index.

De hypothese en de uitleg daarvan staan in het boek. Na aanleiding van de formules die hierin voorkomen kunnen de volgende vier mogelijke criteria gesteld worden bij het kiezen van de schattingen:

• de som van de kwadraatfouten (kleinste kwadraten)

• de gewogen som van de kwadraatfouten

• de som van de absolute fouten (SAE)

• de minimax.

In voorbeeld 8.10 wordt dit verder uitgelegd.

Conclusie

Veel problemen kunnen goed benaderd worden met een lineair model. Toch zijn ook veel problemen inherent non-lineair. Deze zijn in dit hoofdstuk aan de orde gekomen. De voorbeelden waren relatief klein en simpel, zo dat het programma Solver er mee over weg kon en optimale oplossingen kon produceren. Grotere en meer complexe non-lineaire modellen zijn niet altijd zo eenvoudig en vereisen veelal methodes die het niveau van dit boek te boven gaan.

Belangrijke termen

De belangrijkste termen en begrippen die in de voorbeelden van dit hoofdstuk zijn gebruikt met betrekking tot managementwetenschappen, zijn:

• Nonlinear programming (NLP) models: modellen met non-lineaire delen in de doelstelling en/of de beperkingen.

• Global optimum: oplossing die gegarandeerd de beste oplossing is.

• Local optimum: oplossing die beter is dan alle bijna oplossingen, maar misschien niet de allerbeste oplossing is.

• Convex function: functie met een niet-afnemende helling

• Concave function: functie met een niet-toenemende helling

• Optimality guarantee for NLP models: geen verpakking, inclusief Solver, kan garanderen dat de oplossing zal stoppen bij het globale optimum, tenzij een bepaalde bolling of holte is opgelost.

• Multistart option: een nieuwe optie in Solver voor Excel 2010 dat automatisch optimaliseert vanaf een nummer vanaf het startpunt en de beste oplossing biedt.

• Demand function: een functie die de vraag naar een product relateert aan zijn prijs.

• Constant elasticity demand function: een vraagfunctie waarbij de elasticiteit constant is voor elke prijs.

• Minimizing sum of squared errors: een populaire pasmethode om een bocht van een vorm naar een set van punten; fouten zijn de verschillen tussen de geobserveerde en de voorspelde waarden.

• Unconstrained models: een optimalisatiemodel zonder beperkingen.

• Weighted sum of random variables: een belangrijke kwantiteit in een financiele portfolioanalyse; verschillende variabelen zijn terugkoppelingen van investeringen, gewichten zijn fracties in investeringen.

• Return, risk measures of portfolio models: portfoliomodellen die proberen om de verwachte terugkoppeling te maximaliseren en de variaties in de terugkoppelingen (de risico’s) te minimaliseren; de formules hebben betrekking op de correlaties van de covariaties onder de investeringsterugkoppelingen.

• Matrix: een rechthoekige matrix van nummers; meestal bruikbaar om een complexe sommering van formules te eenvoudigen.

• Efficient frontier: curve dat de grootste verwachte portfolioterugkoppeling, mogelijk voor een zeker risiconiveau.

• Beta of a stock: een waarde dat de mate van terugkoppeling indiceert van een voorraadterugkoppeling om een terugkoppeling van de markt te veranderen.

• Sum of absolute errors (SAE): een alternatief criterium om de kwadraatfouten samen te vatten om zo de kans om fouten te maken te verkleinen.

• Minimax: een alternatief criterium om de kans op fouten klein te maken, de grootste fout te minimaliseren.

De belangrijkste termen en begrippen die in de voorbeelden van dit hoofdstuk zijn gebruikt met betrekking tot Exel, zijn:

• SUMXMY2 function: handig om de afstand tussen twee punten te berekenen.

• MMULT function: een reeks functies dat twee matrices vermenigvuldigd in een opgeslagen Excel-reeks.